Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Экстремум функции нескольких переменных в области
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=27307
Страница 1 из 1

Автор:  Rostislav [ 28 окт 2013, 20:09 ]
Заголовок сообщения:  Экстремум функции нескольких переменных в области

Добрый вечер, помогите пожалуйста разобраться в этом вопросе.
Найти наибольшие и наименьшие значения функции [math]$\[z = {x^2} + {y^3} - 12x + 16y\]$[/math] в области [math]$\[{x^2} + {y^2} < = 25\]$[/math]
Правильно ли я понимаю, что сначала нам нужно найти экстремумы функции [math]$\[z\]$[/math], а потом находить условные экстремумы с условием [math]$\[{x^2} + {y^2} = 25\]$[/math]через функцию Лагранжа?, если так, то как находить условные экстремумы, когда область задана несколькими уравнениями?

Автор:  mad_math [ 28 окт 2013, 20:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции нескольких переменных в области

А у вас разве область задана несколькими уравнениями?

Автор:  Rostislav [ 28 окт 2013, 20:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции нескольких переменных в области

Нет, но в задачнике есть и такие задания и хотелось бы знать, как их решать

Автор:  mad_math [ 28 окт 2013, 20:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции нескольких переменных в области

Насколько я помню, алгоритм такой же и для областей, заданных несколькими уравнениями.

Автор:  Rostislav [ 28 окт 2013, 21:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции нескольких переменных в области

так какой алгоритм? тот, что я описал?

Автор:  mad_math [ 28 окт 2013, 22:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции нескольких переменных в области

Да вроде бы сразу составляется функция Лагранжа http://math1.ru/education/funct_sev_var/lagranj.html

Автор:  Alexander N [ 28 окт 2013, 22:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции нескольких переменных в области

А разве не проще - надо найти экстремумы и проверить их на принадлежность заданной области, поскольку задано условие не зависимости, а ограничение на принадлежность области?

Автор:  Alexander N [ 29 окт 2013, 14:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции нескольких переменных в области

В заданной области экстремумов нет, следовательно максимум и минимум надо искать на границе.
Функция представляет из себя как бы две функции [math]Z=Z_y(y)+Z_x(x); Z_y(y)=y^3+16y; Z_x(x)=x^2-12x;[/math]

[math]Z(0,\pm5)= \pm(125+80)=\pm205; Z(\pm5,0)=25\mp\60=[85;-35][/math] Отсюда для начала получаем предварительное значение [math]\frac{max}{min}=\frac{205}{-205}[/math]

Однако надо найти максимин на всей кривой [math]x^2+y^2=25[/math]
Тогда сделав подстановку [math]x=\pm\sqrt{25-y^2}[/math] получаем зависимость [math]Z=y^3+16y +25-y^2 \mp\sqrt{25-y^2}; -5<y<5;[/math]
Искать аналитически экстремум затруднительно, однако примерный график показывает, что экстремумов у последней функции вроде нет.
Следовательно максимальные и минимальные значения функции лежат на границах интервала [math]y=\pm5;[/math] Откуда [math]Z_{max}=205; Z_{min}=-205;[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/