Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Определить знак разности
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=25702
Страница 1 из 1

Автор:  ZeeeMaxxx [ 28 июн 2013, 09:19 ]
Заголовок сообщения:  Определить знак разности

определите знак разности f(1,5)-f(1), если x=1 - единственная точка экстремума дважды дифференцируемой функции f(x) и f''(1)=-3

Автор:  Human [ 28 июн 2013, 16:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определить знак разности

Согласно условию функция [math]f[/math] достигает в точке [math]x=1[/math] строгого локального максимума (первая производная равна нулю по лемме Ферма, а вторая отрицательна). Покажем, что в ней же достигается и строгий глобальный максимум. Предположим противное: пусть существует точка [math]x_0[/math] такая, что [math]f(x_0)\geqslant f(1)[/math]. Пусть для определённости [math]x_0>1[/math]. Поскольку функция [math]f[/math] непрерывна на отрезке [math][1;x_0][/math] (в силу дифференцируемости), то по теореме Вейерштрасса она достигает на нём минимума в некоторой точке. Заметим, что в точках [math]x_0[/math] и [math]1[/math] этот минимум достигаться не может, поскольку значения функции в точках правой проколотой полуокрестности точки [math]1[/math] меньше [math]f(1)[/math], а [math]f(x_0)\geqslant f(1)[/math], значит этот минимум достигается в некоторой внутренней точке отрезка [math][1;x_0][/math]. Но тогда функция имеет ещё одну точку экстремума, что противоречит условию. Аналогично приходим к противоречию, если [math]x_0<1[/math], значит [math]f(1)>f(x)[/math] при всех [math]x[/math]. Отсюда [math]f(1,5)-f(1)<0[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/