Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти наибольшее и наименьшее значение функции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=25396
Страница 1 из 1

Автор:  gulllak [ 12 июн 2013, 13:37 ]
Заголовок сообщения:  Найти наибольшее и наименьшее значение функции

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области D.
[math]z=2x^{2}+8x +2y^{2}+4y +9[/math] , область D задана неравенством [math](x+2)^{2}+ (y+1)^{2}\leqslant 1[/math]
Не понимаю как. Помогите решить.

Автор:  SzaryWilk [ 12 июн 2013, 15:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее и наименьшее значение функции

Такого рода задания обычно решаем так: С помощью первых частных производных находим критические точки, затем особые точки, лежащие в данной области, и вычисляем значения функции в этих точках. Затем находим экстремальные значения функции на границе области.
Но в данном случае достаточно отметить, что функция [math]z[/math] определяет собой круговой параболоид, ось которого проходит через точку (-2,-1), которая является центром круга [math](x+2)^2+(y+1)^2\leq 1[/math]. (Сделайте, пожалуйста, чертеж.)
Так как

[math]z=2((x+2)^2+(y+1)^2)-1[/math]


то наименьшее значение функции равно [math]-1[/math], а наибольшего значения функция достигает на окружности [math](x+2)^2+(y+1)^2= 1[/math], где функция является постоянной: [math]z= 2\cdot 1-1=1[/math]

Автор:  Avgust [ 12 июн 2013, 15:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее и наименьшее значение функции

Можно так записать первое выражение

[math]z=2\big [(x+2)^2+(y+1)^2 \big ]-1[/math]

По второму условию, все, что в квадратных скобках, меньше или равно единице.

Условно так запишем:

[math]z=2\cdot (\le 1)-1[/math]

Тут ясно, что [math]z_{max}=2\cdot 1-1=1[/math]

Найдем минимум. Область D - это окружность. Минимальный радиус равен 0. Тогда минимум [math]z_{min}=2\cdot 0-1=-1[/math]

PS. Пока думал и писал, меня опередили :D1

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/