Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Частная производная
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=25198
Страница 1 из 2

Автор:  tolyash [ 06 июн 2013, 08:57 ]
Заголовок сообщения:  Частная производная

Здравствуйте, надо найти частные производные по x, y, и z. Сама функция на прикрепленной фотографии. Сама задача не сложная, но я подзабыл сам алгоритм, да и возникло пара вопросов.

Вложения:
1014221.JPG
1014221.JPG [ 90.52 Кб | Просмотров: 61 ]

Автор:  Yurik [ 06 июн 2013, 10:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Частная производная

[math]\begin{gathered} u = {\cos ^2}{\left( {xy} \right)^{{z^2}}} \hfill \\ \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 2\cos {\left( {xy} \right)^{{z^2}}}\left( { - \sin {{\left( {xy} \right)}^{{z^2}}}} \right){z^2}{\left( {xy} \right)^{{z^2} - 1}}y = ... \hfill \\ \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 2\cos {\left( {xy} \right)^{{z^2}}}\left( { - \sin {{\left( {xy} \right)}^{{z^2}}}} \right){z^2}{\left( {xy} \right)^{{z^2} - 1}}x = ... \hfill \\ \frac{{\partial u}}{{\partial z}} = 2\cos {\left( {xy} \right)^{{z^2}}}\left( { - \sin {{\left( {xy} \right)}^{{z^2}}}} \right){\left( {xy} \right)^{{z^2}}}2z\ln xy = ... \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  tolyash [ 06 июн 2013, 11:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Частная производная

Yurik писал(а):
[math]\begin{gathered} u = {\cos ^2}{\left( {xy} \right)^{{z^2}}} \hfill \\ \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 2\cos {\left( {xy} \right)^{{z^2}}}\left( { - \sin {{\left( {xy} \right)}^{{z^2}}}} \right){z^2}{\left( {xy} \right)^{{z^2} - 1}}y = ... \hfill \\ \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 2\cos {\left( {xy} \right)^{{z^2}}}\left( { - \sin {{\left( {xy} \right)}^{{z^2}}}} \right){z^2}{\left( {xy} \right)^{{z^2} - 1}}x = ... \hfill \\ \frac{{\partial u}}{{\partial z}} = 2\cos {\left( {xy} \right)^{{z^2}}}\left( { - \sin {{\left( {xy} \right)}^{{z^2}}}} \right){\left( {xy} \right)^{{z^2}}}2z\ln xy = ... \hfill \\ \end{gathered}[/math]

дело в том, что косинус у нас не в квадрате, а в степени Z. И при поиске ЧП по Z я запутался.

Автор:  Wersel [ 06 июн 2013, 12:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Частная производная

tolyash
Умеете находить производную от [math]x^x[/math] ?

Автор:  tolyash [ 06 июн 2013, 23:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Частная производная

Wersel писал(а):
Умеете находить производную от ?

Вот, подзабыл.

Автор:  Yurik [ 07 июн 2013, 08:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Частная производная

[math]\begin{gathered} u = {\cos ^z}{\left( {xy} \right)^{{z^2}}}\,\,\, = > \,\,\,\ln u = z\ln \cos {\left( {xy} \right)^{{z^2}}} \hfill \\ \hfill \\ \frac{{\frac{{\partial u}}{{\partial x}}}}{u} = \frac{{z\left( { - \sin {{\left( {xy} \right)}^{{z^2}}}} \right){z^2}{{\left( {xy} \right)}^{{z^2} - 1}}y}}{{\cos {{\left( {xy} \right)}^{{z^2}}}}} = ... \hfill \\ \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = - {z^3}\sin {\left( {xy} \right)^{{z^2}}}{\left( {xy} \right)^{{z^2} - 1}}y\cos {\left( {xy} \right)^{{z^2} - 1}} \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  tolyash [ 09 июн 2013, 05:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Частная производная

Yurik писал(а):
[math]\begin{gathered} u = {\cos ^z}{\left( {xy} \right)^{{z^2}}}\,\,\, = > \,\,\,\ln u = z\ln \cos {\left( {xy} \right)^{{z^2}}} \hfill \\ \hfill \\ \frac{{\frac{{\partial u}}{{\partial x}}}}{u} = \frac{{z\left( { - \sin {{\left( {xy} \right)}^{{z^2}}}} \right){z^2}{{\left( {xy} \right)}^{{z^2} - 1}}y}}{{\cos {{\left( {xy} \right)}^{{z^2}}}}} = ... \hfill \\ \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = - {z^3}\sin {\left( {xy} \right)^{{z^2}}}{\left( {xy} \right)^{{z^2} - 1}}y\cos {\left( {xy} \right)^{{z^2} - 1}} \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered}[/math]

В конце вы переносите этот косинус, сокращая его со знаменателем. Но дело то, что косинус, который вы переносите (который u), находится в степени Z, а не в квадрате. Или я что-то путаю?

Автор:  Yurik [ 09 июн 2013, 08:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Частная производная

Не путаете, длинное выражение, я опечатался.
[math]...\frac{u}{{\cos {{\left( {xy} \right)}^{{z^2}}}}} = ...\frac{{{{\cos }^z}{{\left( {xy} \right)}^{{z^2}}}}}{{\cos {{\left( {xy} \right)}^{{z^2}}}}} = ...{\cos ^{z - 1}}{\left( {xy} \right)^{{z^2}}}[/math]

Автор:  tolyash [ 17 июн 2013, 09:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Частная производная

Yurik писал(а):
[math]\begin{gathered} u = {\cos ^z}{\left( {xy} \right)^{{z^2}}}\,\,\, = > \,\,\,\ln u = z\ln \cos {\left( {xy} \right)^{{z^2}}} \hfill \\ \hfill \\ \frac{{\frac{{\partial u}}{{\partial x}}}}{u} = \frac{{z\left( { - \sin {{\left( {xy} \right)}^{{z^2}}}} \right){z^2}{{\left( {xy} \right)}^{{z^2} - 1}}y}}{{\cos {{\left( {xy} \right)}^{{z^2}}}}} = ... \hfill \\ \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = - {z^3}\sin {\left( {xy} \right)^{{z^2}}}{\left( {xy} \right)^{{z^2} - 1}}y\cos {\left( {xy} \right)^{{z^2} - 1}} \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Хм, только сейчас обратил внимание.
Вы логарифмируете, чтобы убрать степень Z, но производная-то ищется по X, то есть наша Z - ни что иное, как константа.

Автор:  Yurik [ 17 июн 2013, 10:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Частная производная

tolyash писал(а):
Вы логарифмируете, чтобы убрать степень Z, но производная-то ищется по X, то есть наша Z - ни что иное, как константа.

Логарифмирую я по правилам логарифмирования. Дальше ищем частную производную по x, y и z по правилам логарифмического дифференцирования.
Неужели Вы думаете, что я довольно сложные выражения не проверяю хотя бы на Вольфраме?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/