Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать на условный экстремум
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=24571
Страница 2 из 3

Автор:  bigbang23 [ 22 май 2013, 23:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на условный экстремум

slog писал(а):
[math]L(x,y,z) = xyz + \lambda _{1}(x^2 + y^2 + z^2 - 1)+ \lambda _{2}(x+y+z)[/math]
функция Лагранжа для Вашего случая

Спасибо! Теперь же составляем систему?

Автор:  slog [ 22 май 2013, 23:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на условный экстремум

Находите частные производные, прировнивайте к 0, находите стационарные точки!)

Автор:  bigbang23 [ 22 май 2013, 23:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на условный экстремум

slog писал(а):
Находите частные производные, прировнивайте к 0, находите стационарные точки!)

Я попробую, спасибо за помощь. Попытки выложу завтра!

Автор:  slog [ 22 май 2013, 23:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на условный экстремум

Успехов!)

Автор:  vvvv [ 23 май 2013, 01:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на условный экстремум

А можно свести к функции от одной переменной :) max=0.136, min=-0.136

Автор:  slog [ 23 май 2013, 07:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на условный экстремум

vvvv
Можно, но зачем?Если мы так сделаем, bigbang23 так у не научится составлять и использовать функцию Лагранжа.

Автор:  Avgust [ 23 май 2013, 13:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на условный экстремум

Я обошелся без Лагранжей, а просто решил систему последних двух строк и получил [math]x_{1,2}\,[/math] и [math]y_{1,2}\,[/math] (формулы на графике). Подставляя их в [math]U=xyz \,[/math] , находим, что это кубическая кривая [math]U=\frac 12 \, z \, \sqrt{2\,z^2-1}[/math]

Производная: [math]U'=3z^2-\frac 12[/math]

Приравнивая ее нулю находим два экстремума:

[math]z_{1,2}=\pm \frac{\sqrt{6}}{6}\approx \pm 0.4082[/math]

График не противоречит. Можно показать (по знаку второй производной), что при отрицательном корне будет локальный максимум [math]U_{max}=\frac{\sqrt{6}}{18} \approx 0.136[/math],

При положительном корне - локальный минимум
[math]U_{min}=-\frac{\sqrt{6}}{18} \approx -0.136[/math]

что также подтверждается графиком.

Изображение

Автор:  andrei [ 23 май 2013, 15:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на условный экстремум

Я рассуждал так
[math](x+y+z)^{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)=1+2(xy+yz+zx)=0[/math]
откуда [math]xy+yz+zx= -\frac{ 1 }{ 2 }[/math] рассмотрим уравнение
[math](u-x)(u-y)(u-z)=0[/math] получим
[math]u^{3}-(x+y+z)u^{2}+(xy+yz+zx)u-xyz=u^{3}- \frac{ 1 }{ 2 }u-xyz=0[/math]
Откуда получим [math]xyz=u^{3}- \frac{ 1 }{ 2 } u[/math]
И уже от полученной функции ищем локальные экстремумы.

Автор:  Avgust [ 23 май 2013, 15:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на условный экстремум

andrei

И как же получить экстремальные [math]U \,[/math] ?

Автор:  andrei [ 23 май 2013, 15:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на условный экстремум

Так же как и в Вашем решении-через производные.
Кстати,никак не пойму-откуда у Вас взялся корень квадратный?

Страница 2 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/