| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Исследовать на условный экстремум http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=24571 |
Страница 2 из 3 |
| Автор: | bigbang23 [ 22 май 2013, 23:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на условный экстремум |
slog писал(а): [math]L(x,y,z) = xyz + \lambda _{1}(x^2 + y^2 + z^2 - 1)+ \lambda _{2}(x+y+z)[/math] функция Лагранжа для Вашего случая Спасибо! Теперь же составляем систему? |
|
| Автор: | slog [ 22 май 2013, 23:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на условный экстремум |
Находите частные производные, прировнивайте к 0, находите стационарные точки!) |
|
| Автор: | bigbang23 [ 22 май 2013, 23:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на условный экстремум |
slog писал(а): Находите частные производные, прировнивайте к 0, находите стационарные точки!) Я попробую, спасибо за помощь. Попытки выложу завтра! |
|
| Автор: | slog [ 22 май 2013, 23:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на условный экстремум |
Успехов!) |
|
| Автор: | vvvv [ 23 май 2013, 01:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на условный экстремум |
А можно свести к функции от одной переменной max=0.136, min=-0.136
|
|
| Автор: | slog [ 23 май 2013, 07:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на условный экстремум |
vvvv Можно, но зачем?Если мы так сделаем, bigbang23 так у не научится составлять и использовать функцию Лагранжа. |
|
| Автор: | Avgust [ 23 май 2013, 13:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на условный экстремум |
Я обошелся без Лагранжей, а просто решил систему последних двух строк и получил [math]x_{1,2}\,[/math] и [math]y_{1,2}\,[/math] (формулы на графике). Подставляя их в [math]U=xyz \,[/math] , находим, что это кубическая кривая [math]U=\frac 12 \, z \, \sqrt{2\,z^2-1}[/math] Производная: [math]U'=3z^2-\frac 12[/math] Приравнивая ее нулю находим два экстремума: [math]z_{1,2}=\pm \frac{\sqrt{6}}{6}\approx \pm 0.4082[/math] График не противоречит. Можно показать (по знаку второй производной), что при отрицательном корне будет локальный максимум [math]U_{max}=\frac{\sqrt{6}}{18} \approx 0.136[/math], При положительном корне - локальный минимум [math]U_{min}=-\frac{\sqrt{6}}{18} \approx -0.136[/math] что также подтверждается графиком.
|
|
| Автор: | andrei [ 23 май 2013, 15:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на условный экстремум |
Я рассуждал так [math](x+y+z)^{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)=1+2(xy+yz+zx)=0[/math] откуда [math]xy+yz+zx= -\frac{ 1 }{ 2 }[/math] рассмотрим уравнение [math](u-x)(u-y)(u-z)=0[/math] получим [math]u^{3}-(x+y+z)u^{2}+(xy+yz+zx)u-xyz=u^{3}- \frac{ 1 }{ 2 }u-xyz=0[/math] Откуда получим [math]xyz=u^{3}- \frac{ 1 }{ 2 } u[/math] И уже от полученной функции ищем локальные экстремумы. |
|
| Автор: | Avgust [ 23 май 2013, 15:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на условный экстремум |
andrei И как же получить экстремальные [math]U \,[/math] ? |
|
| Автор: | andrei [ 23 май 2013, 15:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на условный экстремум |
Так же как и в Вашем решении-через производные. Кстати,никак не пойму-откуда у Вас взялся корень квадратный? |
|
| Страница 2 из 3 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|