Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Поиск стационарных точек для функции трех переменных
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=23919
Страница 2 из 2

Автор:  MACHDEM [ 03 май 2013, 00:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поиск стационарных точек для функции трех переменных

Минутку, значения функций для двух точек равно трем же, откуда [math]t^5[/math]?

Автор:  Human [ 03 май 2013, 01:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поиск стационарных точек для функции трех переменных

Да, я ошибся. Завтра над этим подумаю.

Автор:  Human [ 03 май 2013, 02:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поиск стационарных точек для функции трех переменных

Не стал я ждать до завтра, поскольку задача всё равно не давала покоя :) . В общем, вот что получилось:

1. Точки [math](t,-t,0)[/math] при [math]t<0[/math] таки являются точками минимума.

2. Все остальные стац точки не являются точками экстремума.

Теперь док-во.

1. Рассмотрим точку [math](t,-t,0),\ t<0[/math]. Значение функции в ней равно 3. Подставив в функцию точки вида [math](t+a,-t+b,c)[/math], получим

[math](a+b)^2+(t+a)^2(b-t)c^2+3[/math]

Заметим, что при [math]b>\frac t2[/math] выполнено [math]b-t>-\frac t2>0[/math], поэтому

[math](a+b)^2+(t+a)^2(b-t)c^2+3\geqslant3[/math]

то есть существует окрестность точки [math](t,-t,0)[/math] (например, кубик [math]|a|<-\frac t2,\ |b|<-\frac t2,\ |c|<-\frac t2[/math]), в которой значения функции не меньше значения в точке [math](t,-t,0)[/math], значит [math](t,-t,0)[/math] - точка минимума (естественно, нестрогого).

2. Рассмотрим точку [math](0,0,0)[/math]. Значение функции в ней равно 3. В любой окрестности точки [math](0,0,0)[/math] есть точки вида [math](\varepsilon,-\varepsilon,\varepsilon)[/math]. Значение функции в них равно

[math]3-\varepsilon^5[/math]

Видим, что при [math]\varepsilon>0[/math] значение функции меньше [math]3[/math], а при [math]\varepsilon<0[/math] - больше [math]3[/math], значит экстремума нет.

3. Рассмотрим точку [math](t,-t,0),\ t>0[/math]. Значение функции в ней равно 3. В любой окрестности этой точки есть точки вида [math](t+\varepsilon t,-t-\varepsilon t,\varepsilon),\ \varepsilon>0[/math]. Значение функции в них равно

[math]-t^3(1+\varepsilon)^3\varepsilon^2+3<3[/math]

С другой стороны в любой окрестности этой точки есть точки вида [math]\left(t+\varepsilon t,-t+\varepsilon t,\frac{\varepsilon}{(1+\varepsilon)\sqrt t\sqrt{1-\varepsilon}}\right),\ 0<\varepsilon<1[/math]. Значение функции в них равно

[math]3\varepsilon^2t^2+3>3[/math]

То есть экстремума нет.

4. Для точек [math](0,0,t),\ t\ne0[/math] по-прежнему годится та идея, о которой я упоминал выше.

В целом, конечно, задача убойная, и не должна даваться в качестве стандартной учебной (в качестве нестандартной или повышенной сложности - пожалуйста).

Страница 2 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/