Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Поиск стационарных точек для функции трех переменных
СообщениеДобавлено: 02 май 2013, 18:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 май 2013, 18:03
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возникла такая беда:
Есть функция
[math]w = x^2 + 2xy + y^2 +x^2yz^2 + 3[/math]
Найдены частные производные по х, у, z, соответственно равные:
[math]2x + 2y + 2xyz^2[/math]
[math]2x + 2y + x^2z^2[/math]
[math]2zyx^2[/math]

Как видно стационарных точек бесконечно много: (х, -х, 0) и (0,0,a), где а - любое число

Признаться честно, к такому меня жизнь не готовила, что делать в таких случаях?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поиск стационарных точек для функции трех переменных
СообщениеДобавлено: 02 май 2013, 19:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 май 2013, 18:03
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Перепроверил, при z = 0, получаем x = -y
При x = 0, получаем, что и y = 0, а вот значение z совсем неважно.
Ума не приложу

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поиск стационарных точек для функции трех переменных
СообщениеДобавлено: 02 май 2013, 20:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MACHDEM писал(а):
Признаться честно, к такому меня жизнь не готовила, что делать в таких случаях?


Если Вам нужно только найти стационарные точки, то Вы уже всё сделали, стац точки найдены верно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поиск стационарных точек для функции трех переменных
СообщениеДобавлено: 02 май 2013, 20:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 май 2013, 18:03
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
MACHDEM писал(а):
Признаться честно, к такому меня жизнь не готовила, что делать в таких случаях?


Если Вам нужно только найти стационарные точки, то Вы уже всё сделали, стац точки найдены верно.


Нужно найти локальные экстремумы, в этом и вся беда

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поиск стационарных точек для функции трех переменных
СообщениеДобавлено: 02 май 2013, 20:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 май 2013, 18:03
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вторые производные:
[math]w''(xx) = 2 + 2yz^2[/math]
[math]w''(yy) = 2[/math]
[math]w''(zz) = 2yx^2[/math]
[math]w''(xy) = 2 + 2xz^2[/math]
[math]w''(xz) = 4zyx[/math]
[math]w''(yz) = 2zx^2[/math]

Для точки (0,0,а)
Получим: a11 = 0, a22 = 2, a33 = 0, a12=a21 = 2, a13=a31 = 0, a23 = a32 = 0
Получаем следующие три определителя: 0, -1, 0
Для точки (x,-x,0)
a11 = 2, a22 = 2, a33 = -2x^3, a12=a21 = 2, a13=a31 = 0, a23 = a32 = 0

Определители: 2,0,0

Следовательно экстремумов нет

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поиск стационарных точек для функции трех переменных
СообщениеДобавлено: 02 май 2013, 21:00 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MACHDEM писал(а):
Для точки (0,0,а)
Получим: a11 = 0, a22 = 2, a33 = 0, a12=a21 = 2, a13=a31 = 0, a23 = a32 = 0
Получаем следующие три определителя: 0, -1, 0


Чт... КАК Вы это получили?

MACHDEM писал(а):
Следовательно экстремумов нет



А это откуда следует? Про критерий Сильвестра я слышал, но не слышал, чтобы он что-то утверждал насчёт неопределённости квадратичной формы и, следовательно, отсутствия экстремумов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поиск стационарных точек для функции трех переменных
СообщениеДобавлено: 02 май 2013, 21:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 май 2013, 18:03
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для точки (0,0,а)
Получим: a11 = 2, a22 = 2, a33 = 2, a12=a21 = 2, a13=a31 = 0, a23 = a32 = 0
Получаем следующие три определителя: 2,0,0

А на счет экстремума, выходит, что кв. форма знакопеременная, следовательно я не могу сказать является ли точка экстремальной? Или же ..

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поиск стационарных точек для функции трех переменных
СообщениеДобавлено: 02 май 2013, 21:19 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MACHDEM писал(а):
А на счет экстремума, выходит, что кв. форма знакопеременная,


Вот я и спрашиваю: как Вы это определили? Форма с такими минорами вполне может оказаться и полуопределённой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поиск стационарных точек для функции трех переменных
СообщениеДобавлено: 02 май 2013, 21:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 май 2013, 18:03
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Понял, а как я могу внести конкретику в эти точки?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поиск стационарных точек для функции трех переменных
СообщениеДобавлено: 02 май 2013, 21:37 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здесь второй дифференциал не поможет, нужно проверять стац точки на экстремум по, собственно, определению экстремума. Например, возьмём точки вида [math](t,-t,0)[/math]. Ясно, что в окрестности любой из них лежат точки этого вида. Значения функции в них будет [math]3-t^5[/math]. Если [math]t_1>t[/math], то значение функции в точке [math](t_1,-t_1,0)[/math] меньше значения в точке [math](t,-t,0)[/math], а если [math]t_1<t[/math], то значение в точке [math](t_2,-t_2,0)[/math] больше значения в точке [math](t,-t,0)[/math]. Таким образом в любой окрестности точки [math](t,-t,0)[/math] (при конкретном выбранном [math]t[/math]) есть точки, значения в которых как больше, так и меньше значения в точке [math](t,-t,0)[/math], а это противоречит определению экстремума. Значит ни одна из этих точек не может быть экстремумом.

Аналогично можно доказать, что ни одна из точек вида [math](0,0,t),\ t\ne0[/math] не является точкой экстремума, если при каждом фиксированном [math]t[/math] рассмотреть точки вида [math](\varepsilon,-\varepsilon,t)[/math]. Попробуйте это сами сделать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
MACHDEM
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Предел функции трех переменных

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

boode

2

557

21 апр 2017, 09:00

Найти экстремум функции трёх переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Jugalator

11

549

28 май 2018, 19:47

Относительный экстремум функции трёх переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Finn_parnichka

11

720

27 мар 2018, 17:02

Задача на условный экстремум функции трех переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Yurievna

10

1245

17 мар 2018, 12:43

Аппроксимация функции трех переменных степенной функцией

в форуме Численные методы

olegarta

20

1292

12 апр 2019, 19:52

Нахождение дифференциалв неявной функции трех переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

XAA1997

2

4389

15 май 2015, 12:00

Факториалы трех переменных

в форуме Алгебра

Do_you_watch_co

2

699

24 дек 2018, 21:59

Поиск целочисленных точек на произвольной прямой

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

granit201z

8

674

11 май 2017, 14:31

Общее уравнение прямой для трёх точек

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ualdrm

2

131

24 окт 2022, 17:08

Приближённые вычисления. Функция трёх переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

mad_math

6

312

18 ноя 2022, 03:58


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved