Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 13 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| MACHDEM |
|
|
|
Есть функция [math]w = x^2 + 2xy + y^2 +x^2yz^2 + 3[/math] Найдены частные производные по х, у, z, соответственно равные: [math]2x + 2y + 2xyz^2[/math] [math]2x + 2y + x^2z^2[/math] [math]2zyx^2[/math] Как видно стационарных точек бесконечно много: (х, -х, 0) и (0,0,a), где а - любое число Признаться честно, к такому меня жизнь не готовила, что делать в таких случаях? |
||
| Вернуться к началу | ||
| MACHDEM |
|
|
|
Перепроверил, при z = 0, получаем x = -y
При x = 0, получаем, что и y = 0, а вот значение z совсем неважно. Ума не приложу |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
MACHDEM писал(а): Признаться честно, к такому меня жизнь не готовила, что делать в таких случаях? Если Вам нужно только найти стационарные точки, то Вы уже всё сделали, стац точки найдены верно. |
||
| Вернуться к началу | ||
| MACHDEM |
|
|
|
Human писал(а): MACHDEM писал(а): Признаться честно, к такому меня жизнь не готовила, что делать в таких случаях? Если Вам нужно только найти стационарные точки, то Вы уже всё сделали, стац точки найдены верно. Нужно найти локальные экстремумы, в этом и вся беда |
||
| Вернуться к началу | ||
| MACHDEM |
|
|
|
Вторые производные:
[math]w''(xx) = 2 + 2yz^2[/math] [math]w''(yy) = 2[/math] [math]w''(zz) = 2yx^2[/math] [math]w''(xy) = 2 + 2xz^2[/math] [math]w''(xz) = 4zyx[/math] [math]w''(yz) = 2zx^2[/math] Для точки (0,0,а) Получим: a11 = 0, a22 = 2, a33 = 0, a12=a21 = 2, a13=a31 = 0, a23 = a32 = 0 Получаем следующие три определителя: 0, -1, 0 Для точки (x,-x,0) a11 = 2, a22 = 2, a33 = -2x^3, a12=a21 = 2, a13=a31 = 0, a23 = a32 = 0 Определители: 2,0,0 Следовательно экстремумов нет |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
MACHDEM писал(а): Для точки (0,0,а) Получим: a11 = 0, a22 = 2, a33 = 0, a12=a21 = 2, a13=a31 = 0, a23 = a32 = 0 Получаем следующие три определителя: 0, -1, 0 Чт... КАК Вы это получили? MACHDEM писал(а): Следовательно экстремумов нет А это откуда следует? Про критерий Сильвестра я слышал, но не слышал, чтобы он что-то утверждал насчёт неопределённости квадратичной формы и, следовательно, отсутствия экстремумов. |
||
| Вернуться к началу | ||
| MACHDEM |
|
|
|
Для точки (0,0,а)
Получим: a11 = 2, a22 = 2, a33 = 2, a12=a21 = 2, a13=a31 = 0, a23 = a32 = 0 Получаем следующие три определителя: 2,0,0 А на счет экстремума, выходит, что кв. форма знакопеременная, следовательно я не могу сказать является ли точка экстремальной? Или же .. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
MACHDEM писал(а): А на счет экстремума, выходит, что кв. форма знакопеременная, Вот я и спрашиваю: как Вы это определили? Форма с такими минорами вполне может оказаться и полуопределённой. |
||
| Вернуться к началу | ||
| MACHDEM |
|
|
|
Понял, а как я могу внести конкретику в эти точки?
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Здесь второй дифференциал не поможет, нужно проверять стац точки на экстремум по, собственно, определению экстремума. Например, возьмём точки вида [math](t,-t,0)[/math]. Ясно, что в окрестности любой из них лежат точки этого вида. Значения функции в них будет [math]3-t^5[/math]. Если [math]t_1>t[/math], то значение функции в точке [math](t_1,-t_1,0)[/math] меньше значения в точке [math](t,-t,0)[/math], а если [math]t_1<t[/math], то значение в точке [math](t_2,-t_2,0)[/math] больше значения в точке [math](t,-t,0)[/math]. Таким образом в любой окрестности точки [math](t,-t,0)[/math] (при конкретном выбранном [math]t[/math]) есть точки, значения в которых как больше, так и меньше значения в точке [math](t,-t,0)[/math], а это противоречит определению экстремума. Значит ни одна из этих точек не может быть экстремумом.
Аналогично можно доказать, что ни одна из точек вида [math](0,0,t),\ t\ne0[/math] не является точкой экстремума, если при каждом фиксированном [math]t[/math] рассмотреть точки вида [math](\varepsilon,-\varepsilon,t)[/math]. Попробуйте это сами сделать. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: MACHDEM |
||
|
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 13 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |