Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 24 апр 2013, 21:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 апр 2013, 11:25
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
привести индивидуальный пример функции двух переменных, для которой в некоторой точке значения смешанных производных второго порядка не равны друг другу
К примеру, я привожу данную ссылку , в которой имеется такой пример http://ru.wikipedia.org/wiki/Смешанная_ ... роизводная
мне необходимо :
а)существенно изменить пример (не просто умножить на число или добавить константу).
б)С помощью Wolfram Alpha посчитать смешанные производные и указать точку, в которой они не совпадают. С помощью той же программы построить график этой функции.

Помогите,пожалуйста, хотя бы с пунктом а!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 25 апр 2013, 20:13 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Проще всего такие функции искать в полярных координатах. Пусть [math]f(x,y)=f(r\cos\varphi,r\sin\varphi)=g(r,\varphi)[/math] искомая функция. Тогда

[math]\left\{\begin{aligned}f_x=g_r\cos\varphi-\frac1rg_{\varphi}\sin\varphi\\f_y=g_r\sin\varphi+\frac1rg_{\varphi}\cos\varphi\end{aligned}\right.[/math]

[math]f_x(0,y)=\left\{\begin{aligned}-\frac1yg_{\varphi}\left(y,\frac{\pi}2\right),\ y>0\\-\frac1yg_{\varphi}\left(y,\frac{3\pi}2\right),\ y<0\end{aligned}\right.[/math]

[math]f_y(x,0)=\left\{\begin{aligned}\frac1xg_{\varphi}\left(x,0),\ x>0\\\frac1xg_{\varphi}(x,\pi),\ x<0\end{aligned}\right.[/math]

Уже на этом этапе становится понятно, что функцию можно искать в виде [math]g(r,\varphi)=r^2h(\varphi)[/math]. Тогда

[math]f_x(0,y)=\left\{\begin{aligned}-yh'\left(\frac{\pi}2\right),\ y\geqslant0\\-yh'\left(\frac{3\pi}2\right),\ y<0\end{aligned}\right.\Rightarrow f_{xy}(0,y)=\left\{\begin{aligned}-h'\left(\frac{\pi}2\right),\ y>0\\-h'\left(\frac{3\pi}2\right),\ y<0\end{aligned}\right.[/math]

[math]f_y(x,0)=\left\{\begin{aligned}xh'(0),\ x\geqslant0\\xh'(\pi),\ x<0\end{aligned}\right.\Rightarrow f_{yx}(x,0)=\left\{\begin{aligned}h'(0),\ x>0\\h'(\pi),\ x<0\end{aligned}\right.[/math]

Чтобы в точке [math](0,0)[/math] существовали обе смешанные производные необходимо, чтобы выполнялись равенства

[math]\left\{\begin{aligned}h'(0)&=h'(\pi)\\h'\left(\frac{\pi}2\right)&=h'\left(\frac{3\pi}2\right)\end{aligned}\right.[/math]

а чтобы эти производные были отличны необходимо условие

[math]h'(0)+h'\left(\frac{\pi}2\right)\ne0[/math]

при этом, естественно,

[math]\left\{\begin{aligned}f_{xy}(0,0)&=-h'\left(\frac{\pi}2\right)\\f_{yx}(0,0)&=h'(0)\end{aligned}\right.[/math]

Если приведённый в Википедии пример записать в полярных координатах, то получится [math]\frac14r^2\sin4\varphi[/math], то есть [math]h(\varphi)=\frac14\sin4\varphi[/math]. Легко проверить, что эта функция удовлетворяет записанным выше условиям. Можно взять [math]h(\varphi)=\sin8\varphi[/math], что после перевода в декартовы координаты будет иметь вид

[math]\left\{\begin{aligned}\frac{4xy(x^2-y^2)(x^4-6x^2y^2+y^4)}{(x^2+y^2)^3},\ x^2+y^2\ne0\\0\qquad\qquad\qquad,\ x^2+y^2=0\end{aligned}\right.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Alexdemath, Shabuma
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Функции двух переменных

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

photographer

1

328

16 июн 2016, 05:21

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

God_mode_2016

11

817

25 апр 2018, 15:21

Аппроксимация функции двух переменных

в форуме Численные методы

Rif

130

9824

14 июл 2015, 12:39

Аппроксимация функции двух переменных (2)

в форуме Численные методы

MariaI

9

1322

02 мар 2018, 18:38

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

HitGirl

4

324

09 мар 2020, 12:01

Предел функции двух переменных

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

o_o1

18

481

24 май 2020, 16:55

Предел функции двух переменных

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Helen_sh

3

348

20 май 2017, 04:55

Экстремумы функции двух переменных

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Roso

1

362

14 янв 2016, 23:05

Предел функции двух переменных

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Eqonna

0

486

08 апр 2020, 17:07

Экстремумы функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Ryslannn

6

362

15 июн 2017, 11:37


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved