Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Shabuma |
|
|
К примеру, я привожу данную ссылку , в которой имеется такой пример http://ru.wikipedia.org/wiki/Смешанная_ ... роизводная мне необходимо : а)существенно изменить пример (не просто умножить на число или добавить константу). б)С помощью Wolfram Alpha посчитать смешанные производные и указать точку, в которой они не совпадают. С помощью той же программы построить график этой функции. Помогите,пожалуйста, хотя бы с пунктом а! |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Проще всего такие функции искать в полярных координатах. Пусть [math]f(x,y)=f(r\cos\varphi,r\sin\varphi)=g(r,\varphi)[/math] искомая функция. Тогда
[math]\left\{\begin{aligned}f_x=g_r\cos\varphi-\frac1rg_{\varphi}\sin\varphi\\f_y=g_r\sin\varphi+\frac1rg_{\varphi}\cos\varphi\end{aligned}\right.[/math] [math]f_x(0,y)=\left\{\begin{aligned}-\frac1yg_{\varphi}\left(y,\frac{\pi}2\right),\ y>0\\-\frac1yg_{\varphi}\left(y,\frac{3\pi}2\right),\ y<0\end{aligned}\right.[/math] [math]f_y(x,0)=\left\{\begin{aligned}\frac1xg_{\varphi}\left(x,0),\ x>0\\\frac1xg_{\varphi}(x,\pi),\ x<0\end{aligned}\right.[/math] Уже на этом этапе становится понятно, что функцию можно искать в виде [math]g(r,\varphi)=r^2h(\varphi)[/math]. Тогда [math]f_x(0,y)=\left\{\begin{aligned}-yh'\left(\frac{\pi}2\right),\ y\geqslant0\\-yh'\left(\frac{3\pi}2\right),\ y<0\end{aligned}\right.\Rightarrow f_{xy}(0,y)=\left\{\begin{aligned}-h'\left(\frac{\pi}2\right),\ y>0\\-h'\left(\frac{3\pi}2\right),\ y<0\end{aligned}\right.[/math] [math]f_y(x,0)=\left\{\begin{aligned}xh'(0),\ x\geqslant0\\xh'(\pi),\ x<0\end{aligned}\right.\Rightarrow f_{yx}(x,0)=\left\{\begin{aligned}h'(0),\ x>0\\h'(\pi),\ x<0\end{aligned}\right.[/math] Чтобы в точке [math](0,0)[/math] существовали обе смешанные производные необходимо, чтобы выполнялись равенства [math]\left\{\begin{aligned}h'(0)&=h'(\pi)\\h'\left(\frac{\pi}2\right)&=h'\left(\frac{3\pi}2\right)\end{aligned}\right.[/math] а чтобы эти производные были отличны необходимо условие [math]h'(0)+h'\left(\frac{\pi}2\right)\ne0[/math] при этом, естественно, [math]\left\{\begin{aligned}f_{xy}(0,0)&=-h'\left(\frac{\pi}2\right)\\f_{yx}(0,0)&=h'(0)\end{aligned}\right.[/math] Если приведённый в Википедии пример записать в полярных координатах, то получится [math]\frac14r^2\sin4\varphi[/math], то есть [math]h(\varphi)=\frac14\sin4\varphi[/math]. Легко проверить, что эта функция удовлетворяет записанным выше условиям. Можно взять [math]h(\varphi)=\sin8\varphi[/math], что после перевода в декартовы координаты будет иметь вид [math]\left\{\begin{aligned}\frac{4xy(x^2-y^2)(x^4-6x^2y^2+y^4)}{(x^2+y^2)^3},\ x^2+y^2\ne0\\0\qquad\qquad\qquad,\ x^2+y^2=0\end{aligned}\right.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Alexdemath, Shabuma |
||
[ Сообщений: 2 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |