Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Условный экстремум
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 02:02 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Исследовать на условный экстремум функцию [math]f(x,y)=2y^2-2\sqrt{3}xy-y+x[/math] при условии [math]x^2+y^2-x+y-\frac{\sqrt{3}}{8}=0[/math]

Использую Метод множителей Лагранжа, при решении системы:

[math]\left\{\begin{matrix}\frac{\partial F}{\partial x} = 0\\ \frac{\partial F}{\partial y} = 0\\ x^2+y^2-x+y-\frac{\sqrt{3}}{8}=0\end{matrix}\right.[/math]

Получаю громоздкие корни:
Изображение


При двух не очень громоздких решениях системы имеем минимум, а при одном громоздком будет максимум. (Эти сведения получены с помощью вольфрама)

Эта самая громоздкая пара [math]x[/math] и [math]y[/math] (в которой максимум) выглядит следующим образом:
Изображение


Насколько я понимаю, такое решение из этой системы аналитически получить практически нереально, то есть опечатка в условии, или...?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 03:32 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Люблю исследовать такое! Безо всяких Лагранжей из второго уравнения выудил две ветви окружности, подставил [math]y_1[/math] и [math]y_2[/math] в первую зависимость, построил график. Взял производные, приравнял нулю, получил абсциссы экстремальных точек. Экстремальные значения [math]f_1, \, f_2,\, f_3,\, f_4 \,[/math] можно легко рассчитать по приведенным формулам:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Wersel
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 20:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3391
Cпасибо сказано: 246
Спасибо получено:
1010 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 273

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уточним и дополним Avgust`а.
См.картинку
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vvvv "Спасибо" сказали:
Wersel
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 21:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня так же получилось:

[math]f_1=\frac 12 \sqrt{8+2\sqrt{3}}(1+\sqrt{3})+\frac{7\sqrt{3}}{8}+3 \approx 9.140726 \, \to \, max[/math] (глобальный)

[math]f_3=-\frac 12 \sqrt{8+2\sqrt{3}}(1+\sqrt{3})+\frac{7\sqrt{3}}{8}+3 \approx -0.109637 \, \to \, max[/math] (локальный)

[math]f_2=f_4=-\frac{\sqrt{3}}{8}\approx -0.216506 \, \to \, min[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 22:04 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3391
Cпасибо сказано: 246
Спасибо получено:
1010 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 273

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, но у Вас было f2=f3=f4 :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 22:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vvvv писал(а):
Да, но у Вас было f2=f3=f4 :)

Где это Вы такое увидели? У меня даже на графике никакого равенства не замечается.

Символом [math]f_{2,3,4}[/math] я обозначил зеленую кривую, которая имеет три экстремума. Подставляем в данное уравнение либо [math]x_2, \,[/math] либо [math]x_3, \,[/math] либо [math]x_4, \,[/math] и находим соответственно [math]f_2 \,; \, f_3\, ; \, f_4[/math]

Красная линия описывается другим уравнением и имеет один экстремум [math]f_1[/math] при подстановке [math]x_1[/math]


Последний раз редактировалось Avgust 12 апр 2013, 22:48, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 22:48 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3391
Cпасибо сказано: 246
Спасибо получено:
1010 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 273

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тогда ясно :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 22:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ясно одно: наши ответы совпали, и потому задачу верно решили. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 22:54 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3391
Cпасибо сказано: 246
Спасибо получено:
1010 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 273

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На dxdy эта же задача, но решение там не предъявлено...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум
СообщениеДобавлено: 13 апр 2013, 19:40 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, конечно, господа, но ответы через матпакеты я тоже получил.

Avgust
А как найти корни производной от той громадной функции?

vvvv
Это я и запостил.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 14 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Условный экстремум ФНП

в форуме Дифференциальное исчисление

rndelic

0

174

13 дек 2017, 15:37

Условный экстремум

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Tanya199

12

328

26 янв 2020, 15:55

Условный экстремум

в форуме Дифференциальное исчисление

Ciber15

3

293

03 окт 2018, 16:49

Условный экстремум

в форуме Дифференциальное исчисление

mcbeat7

26

1132

21 июн 2015, 16:08

Условный экстремум

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

God_mode_2016

0

128

26 окт 2018, 17:52

Найти условный экстремум

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

rfgbnfkbyf

5

417

28 фев 2016, 03:37

Исследовать на условный экстремум

в форуме Дифференциальное исчисление

salainenkappale

7

470

11 окт 2018, 21:20

Найти условный экстремум

в форуме Дифференциальное исчисление

natee1000

2

321

01 май 2017, 16:42

Найти условный экстремум функции

в форуме Дифференциальное исчисление

pelimencik

1

394

09 июн 2015, 08:47

Исследовать на условный экстремум функцию

в форуме Дифференциальное исчисление

dimka11

1

337

22 янв 2018, 21:57


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved