Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
СообщениеДобавлено: 14 янв 2013, 21:44 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
06 дек 2011, 17:01
Сообщений: 385
Cпасибо сказано: 168
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]z=3x+6y-x^{2}-xy-y^{2}[/math], [math]\overline{D} 0\leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
СообщениеДобавлено: 14 янв 2013, 23:36 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
06 дек 2011, 17:01
Сообщений: 385
Cпасибо сказано: 168
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]z'_{x}=3-2x-y[/math]

[math]z'_{y}=6-x-2y[/math]
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 3-2x-y =0 \\
& 6-x-2y=0
\end{aligned}[/math]

умножим второе уравнение на 2 и отнимем почленно уравнения, получим:
-4+3у=0; [math]\Rightarrow y= \frac{ 4 }{ 3 }[/math]
подставим в первое уравнение:
[math]-2x=y-3 \Rightarrow x= \frac{ 5 }{ 6 }[/math]
точка [math](\frac{ 5 }{ 6 } ;\frac{ 4 }{ 3 })[/math] - стационарная точка

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
СообщениеДобавлено: 14 янв 2013, 23:44 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
06 дек 2011, 17:01
Сообщений: 385
Cпасибо сказано: 168
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]z''_{xx} =-2; z''_{xy}=-1; z''_{yy}=-2[/math]

и как теперь находить их значения в стационарных точках?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
СообщениеДобавлено: 15 янв 2013, 00:59 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Yana Kostyuk писал(а):
[math]z'_{x}=3-2x-y[/math]

[math]z'_{y}=6-x-2y[/math]
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 3-2x-y =0 \\
& 6-x-2y=0
\end{aligned}[/math]

умножим второе уравнение на 2 и отнимем почленно уравнения, получим:
-4+3у=0; [math]\Rightarrow y= \frac{ 4 }{ 3 }[/math]
подставим в первое уравнение:
[math]-2x=y-3 \Rightarrow x= \frac{ 5 }{ 6 }[/math]
точка [math](\frac{ 5 }{ 6 } ;\frac{ 4 }{ 3 })[/math] - стационарная точка
У меня получилось [math]x=0,y=3[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Yana Kostyuk
 Заголовок сообщения: Re: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
СообщениеДобавлено: 15 янв 2013, 01:00 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Yana Kostyuk писал(а):
[math]z''_{xx} =-2; z''_{xy}=-1; z''_{yy}=-2[/math]

и как теперь находить их значения в стационарных точках?
Это и есть значения. Находите для них [math]\Delta[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Yana Kostyuk
 Заголовок сообщения: Re: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
СообщениеДобавлено: 15 янв 2013, 05:50 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2720
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не надо считать никаких дельт.
1) стационарная точка (кстати, она найдена неверно) лежит вне квадрата [math]0\leqslant x\leqslant 1, \, 0\leqslant y\leqslant 1[/math].
2) а если бы и лежала, то зачем вычислять какую-то дельту, если в случае ее положительности (а так и будет) все равно придется сравнивать значение функции в этой точке со значеними на границе? Нужно просто вычислить значение в этой точке для будущего сравнения и заняться границей.

Граница состоит из четырех отрезков и на каждом из них мы имеем дело с функцией одной переменной, определенной на отрезке, стало быть на каждом из них наибольшее (наименьшее) значение может быть либо в критической точке, если она попадет в отрезок либо на его концах.
Итого, надо сравнивать значения функции в четырех вершинах квадрата, в критических точках внутри его и в критических точках на сторонах соответствующих функций одной переменной на четырех отрезках.
Для более сложных областей есть метод множителей Лагранжа.

PS. Критическая точка - это либо стационарная либо точка недифференцируемости. Последних здесь нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
Alexdemath, mad_math, Yana Kostyuk
 Заголовок сообщения: Re: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
СообщениеДобавлено: 15 янв 2013, 07:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я хочу поставить все точки над i . Нужно четко представлять задачу. Перед нами поверхность, называемая эллиптический параболоид. У нее есть глобальный максимум [math]z_{max}=9[/math] при [math]x=0[/math] и [math]y=3[/math] .
Ваша область находится в стороне от вершины. На наглядном графике уровней это хорошо видно: Ваш квадрат красный. Отсюда понятно, какой угол квадрата выше, а какой - ниже. Можно спокойно вычислять необходимые точки.
Изображение

Ваш максимум: [math]z=6[/math] при [math]x=1[/math] и [math]y=1[/math]

Ваш минимум: [math]z=0[/math] при [math]x=0[/math] и [math]y=0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Yana Kostyuk
 Заголовок сообщения: Re: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
СообщениеДобавлено: 15 янв 2013, 12:38 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
06 дек 2011, 17:01
Сообщений: 385
Cпасибо сказано: 168
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
Yana Kostyuk писал(а):
[math]z''_{xx} =-2; z''_{xy}=-1; z''_{yy}=-2[/math]

и как теперь находить их значения в стационарных точках?
Это и есть значения. Находите для них [math]\Delta[/math]



я нашла [math]\triangle =3[/math] значит экстремум есть, но в какой точке?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
СообщениеДобавлено: 15 янв 2013, 16:28 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Yana Kostyuk
Уважаемый dr Watson сделал справедливое замечание. Я вам лишнюю работу сказала сделать.
Нужно было найти первые производные и их нули, а затем проверить, попадает ли данная точка в указанную область. Так как точка (0;3) в область [math]0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1[/math] не попадает, то нас не интересует, является ли она максимумом или минимумом. Значит сразу переходим к рассмотрению поведения функции на границах области [math]0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1[/math] без нахождения вторых производных и т.п.

Область, как заметил уважаемый Avgust, представляет собой квадрат со сторонами [math]x=0,y=0,x=1,y=1[/math].
Исследуем функцию при [math]x=0, 0\leq y\leq[/math]. Для этого в её уравнение [math]z=3x+6y-x^2-xy-y^2[/math] подставим [math]x=0[/math]. Получим функцию одной переменной [math]y[/math]: [math]z=6y-y^2[/math], рассматриваемую на отрезке [math]0\leq y\leq[/math]. Функция [math]z=6y-y^2[/math] представляет собой параболу, следовательно, единственным экстремумом является её вершина. Вершина данной параболы, как мы уже знаем, находится в точке [math]y=3, z=9[/math] и в рассматриваемый отрезок не попадает. Т.о., рассматриваем только значения функции [math]z=6y-y^2[/math] на концах отрезка [math]0\leq y\leq[/math]: [math]z(0)=0[/math], [math]z(1)=5[/math].

Аналогичным образом нужно исследовать функцию при [math]x=1,0\leq y\leq 1[/math]; [math]y=0, 0\leq x\leq 1[/math]; [math]y=1, 0\leq x\leq 1[/math] и выбрать из всех полученных значений наибольшее и наименьшее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Yana Kostyuk
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

TheNorby

1

444

12 дек 2016, 22:48

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

natee1000

0

294

01 май 2017, 16:48

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Tracerzzzzz

7

1450

23 ноя 2014, 16:20

Найти наибольшее и наименьшее значение функции z

в форуме Дифференциальное исчисление

Riarepro

4

288

12 янв 2022, 10:26

Найти наименьшее и наибольшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

vendetta0075

0

502

29 ноя 2016, 18:29

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Araik

3

299

21 май 2019, 09:08

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Klyaksa

9

1735

14 июн 2014, 17:41

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

bibibo

1

739

19 дек 2016, 14:23

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

mkolmi

1

310

05 мар 2018, 20:21

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

dmitryi3011

1

316

16 июн 2017, 13:15


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved