Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Yana Kostyuk |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Yana Kostyuk |
|
|
[math]z'_{x}=3-2x-y[/math]
[math]z'_{y}=6-x-2y[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned} & 3-2x-y =0 \\ & 6-x-2y=0 \end{aligned}[/math] умножим второе уравнение на 2 и отнимем почленно уравнения, получим: -4+3у=0; [math]\Rightarrow y= \frac{ 4 }{ 3 }[/math] подставим в первое уравнение: [math]-2x=y-3 \Rightarrow x= \frac{ 5 }{ 6 }[/math] точка [math](\frac{ 5 }{ 6 } ;\frac{ 4 }{ 3 })[/math] - стационарная точка |
||
Вернуться к началу | ||
Yana Kostyuk |
|
|
[math]z''_{xx} =-2; z''_{xy}=-1; z''_{yy}=-2[/math]
и как теперь находить их значения в стационарных точках? |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
Yana Kostyuk писал(а): [math]z'_{x}=3-2x-y[/math] У меня получилось [math]x=0,y=3[/math][math]z'_{y}=6-x-2y[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned} & 3-2x-y =0 \\ & 6-x-2y=0 \end{aligned}[/math] умножим второе уравнение на 2 и отнимем почленно уравнения, получим: -4+3у=0; [math]\Rightarrow y= \frac{ 4 }{ 3 }[/math] подставим в первое уравнение: [math]-2x=y-3 \Rightarrow x= \frac{ 5 }{ 6 }[/math] точка [math](\frac{ 5 }{ 6 } ;\frac{ 4 }{ 3 })[/math] - стационарная точка |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: Yana Kostyuk |
||
mad_math |
|
|
Yana Kostyuk писал(а): [math]z''_{xx} =-2; z''_{xy}=-1; z''_{yy}=-2[/math] Это и есть значения. Находите для них [math]\Delta[/math]и как теперь находить их значения в стационарных точках? |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: Yana Kostyuk |
||
dr Watson |
|
|
Не надо считать никаких дельт.
1) стационарная точка (кстати, она найдена неверно) лежит вне квадрата [math]0\leqslant x\leqslant 1, \, 0\leqslant y\leqslant 1[/math]. 2) а если бы и лежала, то зачем вычислять какую-то дельту, если в случае ее положительности (а так и будет) все равно придется сравнивать значение функции в этой точке со значеними на границе? Нужно просто вычислить значение в этой точке для будущего сравнения и заняться границей. Граница состоит из четырех отрезков и на каждом из них мы имеем дело с функцией одной переменной, определенной на отрезке, стало быть на каждом из них наибольшее (наименьшее) значение может быть либо в критической точке, если она попадет в отрезок либо на его концах. Итого, надо сравнивать значения функции в четырех вершинах квадрата, в критических точках внутри его и в критических точках на сторонах соответствующих функций одной переменной на четырех отрезках. Для более сложных областей есть метод множителей Лагранжа. PS. Критическая точка - это либо стационарная либо точка недифференцируемости. Последних здесь нет. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали: Alexdemath, mad_math, Yana Kostyuk |
||
Avgust |
|
|
Я хочу поставить все точки над i . Нужно четко представлять задачу. Перед нами поверхность, называемая эллиптический параболоид. У нее есть глобальный максимум [math]z_{max}=9[/math] при [math]x=0[/math] и [math]y=3[/math] .
Ваша область находится в стороне от вершины. На наглядном графике уровней это хорошо видно: Ваш квадрат красный. Отсюда понятно, какой угол квадрата выше, а какой - ниже. Можно спокойно вычислять необходимые точки. Ваш максимум: [math]z=6[/math] при [math]x=1[/math] и [math]y=1[/math] Ваш минимум: [math]z=0[/math] при [math]x=0[/math] и [math]y=0[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: Yana Kostyuk |
||
Yana Kostyuk |
|
|
mad_math писал(а): Yana Kostyuk писал(а): [math]z''_{xx} =-2; z''_{xy}=-1; z''_{yy}=-2[/math] Это и есть значения. Находите для них [math]\Delta[/math]и как теперь находить их значения в стационарных точках? я нашла [math]\triangle =3[/math] значит экстремум есть, но в какой точке? |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
Yana Kostyuk
Уважаемый dr Watson сделал справедливое замечание. Я вам лишнюю работу сказала сделать. Нужно было найти первые производные и их нули, а затем проверить, попадает ли данная точка в указанную область. Так как точка (0;3) в область [math]0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1[/math] не попадает, то нас не интересует, является ли она максимумом или минимумом. Значит сразу переходим к рассмотрению поведения функции на границах области [math]0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1[/math] без нахождения вторых производных и т.п. Область, как заметил уважаемый Avgust, представляет собой квадрат со сторонами [math]x=0,y=0,x=1,y=1[/math]. Исследуем функцию при [math]x=0, 0\leq y\leq[/math]. Для этого в её уравнение [math]z=3x+6y-x^2-xy-y^2[/math] подставим [math]x=0[/math]. Получим функцию одной переменной [math]y[/math]: [math]z=6y-y^2[/math], рассматриваемую на отрезке [math]0\leq y\leq[/math]. Функция [math]z=6y-y^2[/math] представляет собой параболу, следовательно, единственным экстремумом является её вершина. Вершина данной параболы, как мы уже знаем, находится в точке [math]y=3, z=9[/math] и в рассматриваемый отрезок не попадает. Т.о., рассматриваем только значения функции [math]z=6y-y^2[/math] на концах отрезка [math]0\leq y\leq[/math]: [math]z(0)=0[/math], [math]z(1)=5[/math]. Аналогичным образом нужно исследовать функцию при [math]x=1,0\leq y\leq 1[/math]; [math]y=0, 0\leq x\leq 1[/math]; [math]y=1, 0\leq x\leq 1[/math] и выбрать из всех полученных значений наибольшее и наименьшее. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: Yana Kostyuk |
||
[ Сообщений: 9 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |