Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
СообщениеДобавлено: 14 янв 2013, 22:44 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
06 дек 2011, 18:01
Сообщений: 385
Cпасибо сказано: 168
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]z=3x+6y-x^{2}-xy-y^{2}[/math], [math]\overline{D} 0\leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
СообщениеДобавлено: 15 янв 2013, 00:36 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
06 дек 2011, 18:01
Сообщений: 385
Cпасибо сказано: 168
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]z'_{x}=3-2x-y[/math]

[math]z'_{y}=6-x-2y[/math]
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 3-2x-y =0 \\
& 6-x-2y=0
\end{aligned}[/math]

умножим второе уравнение на 2 и отнимем почленно уравнения, получим:
-4+3у=0; [math]\Rightarrow y= \frac{ 4 }{ 3 }[/math]
подставим в первое уравнение:
[math]-2x=y-3 \Rightarrow x= \frac{ 5 }{ 6 }[/math]
точка [math](\frac{ 5 }{ 6 } ;\frac{ 4 }{ 3 })[/math] - стационарная точка

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
СообщениеДобавлено: 15 янв 2013, 00:44 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
06 дек 2011, 18:01
Сообщений: 385
Cпасибо сказано: 168
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]z''_{xx} =-2; z''_{xy}=-1; z''_{yy}=-2[/math]

и как теперь находить их значения в стационарных точках?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
СообщениеДобавлено: 15 янв 2013, 01:59 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18890
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11235
Спасибо получено:
5089 раз в 4597 сообщениях
Очков репутации: 687

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Yana Kostyuk писал(а):
[math]z'_{x}=3-2x-y[/math]

[math]z'_{y}=6-x-2y[/math]
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 3-2x-y =0 \\
& 6-x-2y=0
\end{aligned}[/math]

умножим второе уравнение на 2 и отнимем почленно уравнения, получим:
-4+3у=0; [math]\Rightarrow y= \frac{ 4 }{ 3 }[/math]
подставим в первое уравнение:
[math]-2x=y-3 \Rightarrow x= \frac{ 5 }{ 6 }[/math]
точка [math](\frac{ 5 }{ 6 } ;\frac{ 4 }{ 3 })[/math] - стационарная точка
У меня получилось [math]x=0,y=3[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Yana Kostyuk
 Заголовок сообщения: Re: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
СообщениеДобавлено: 15 янв 2013, 02:00 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18890
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11235
Спасибо получено:
5089 раз в 4597 сообщениях
Очков репутации: 687

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Yana Kostyuk писал(а):
[math]z''_{xx} =-2; z''_{xy}=-1; z''_{yy}=-2[/math]

и как теперь находить их значения в стационарных точках?
Это и есть значения. Находите для них [math]\Delta[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Yana Kostyuk
 Заголовок сообщения: Re: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
СообщениеДобавлено: 15 янв 2013, 06:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 12:15
Сообщений: 2196
Cпасибо сказано: 82
Спасибо получено:
727 раз в 574 сообщениях
Очков репутации: 187

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не надо считать никаких дельт.
1) стационарная точка (кстати, она найдена неверно) лежит вне квадрата [math]0\leqslant x\leqslant 1, \, 0\leqslant y\leqslant 1[/math].
2) а если бы и лежала, то зачем вычислять какую-то дельту, если в случае ее положительности (а так и будет) все равно придется сравнивать значение функции в этой точке со значеними на границе? Нужно просто вычислить значение в этой точке для будущего сравнения и заняться границей.

Граница состоит из четырех отрезков и на каждом из них мы имеем дело с функцией одной переменной, определенной на отрезке, стало быть на каждом из них наибольшее (наименьшее) значение может быть либо в критической точке, если она попадет в отрезок либо на его концах.
Итого, надо сравнивать значения функции в четырех вершинах квадрата, в критических точках внутри его и в критических точках на сторонах соответствующих функций одной переменной на четырех отрезках.
Для более сложных областей есть метод множителей Лагранжа.

PS. Критическая точка - это либо стационарная либо точка недифференцируемости. Последних здесь нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
Alexdemath, mad_math, Yana Kostyuk
 Заголовок сообщения: Re: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
СообщениеДобавлено: 15 янв 2013, 08:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10962
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 949
Спасибо получено:
3226 раз в 2818 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я хочу поставить все точки над i . Нужно четко представлять задачу. Перед нами поверхность, называемая эллиптический параболоид. У нее есть глобальный максимум [math]z_{max}=9[/math] при [math]x=0[/math] и [math]y=3[/math] .
Ваша область находится в стороне от вершины. На наглядном графике уровней это хорошо видно: Ваш квадрат красный. Отсюда понятно, какой угол квадрата выше, а какой - ниже. Можно спокойно вычислять необходимые точки.
Изображение

Ваш максимум: [math]z=6[/math] при [math]x=1[/math] и [math]y=1[/math]

Ваш минимум: [math]z=0[/math] при [math]x=0[/math] и [math]y=0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Yana Kostyuk
 Заголовок сообщения: Re: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
СообщениеДобавлено: 15 янв 2013, 13:38 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
06 дек 2011, 18:01
Сообщений: 385
Cпасибо сказано: 168
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
Yana Kostyuk писал(а):
[math]z''_{xx} =-2; z''_{xy}=-1; z''_{yy}=-2[/math]

и как теперь находить их значения в стационарных точках?
Это и есть значения. Находите для них [math]\Delta[/math]



я нашла [math]\triangle =3[/math] значит экстремум есть, но в какой точке?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
СообщениеДобавлено: 15 янв 2013, 17:28 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18890
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11235
Спасибо получено:
5089 раз в 4597 сообщениях
Очков репутации: 687

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Yana Kostyuk
Уважаемый dr Watson сделал справедливое замечание. Я вам лишнюю работу сказала сделать.
Нужно было найти первые производные и их нули, а затем проверить, попадает ли данная точка в указанную область. Так как точка (0;3) в область [math]0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1[/math] не попадает, то нас не интересует, является ли она максимумом или минимумом. Значит сразу переходим к рассмотрению поведения функции на границах области [math]0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1[/math] без нахождения вторых производных и т.п.

Область, как заметил уважаемый Avgust, представляет собой квадрат со сторонами [math]x=0,y=0,x=1,y=1[/math].
Исследуем функцию при [math]x=0, 0\leq y\leq[/math]. Для этого в её уравнение [math]z=3x+6y-x^2-xy-y^2[/math] подставим [math]x=0[/math]. Получим функцию одной переменной [math]y[/math]: [math]z=6y-y^2[/math], рассматриваемую на отрезке [math]0\leq y\leq[/math]. Функция [math]z=6y-y^2[/math] представляет собой параболу, следовательно, единственным экстремумом является её вершина. Вершина данной параболы, как мы уже знаем, находится в точке [math]y=3, z=9[/math] и в рассматриваемый отрезок не попадает. Т.о., рассматриваем только значения функции [math]z=6y-y^2[/math] на концах отрезка [math]0\leq y\leq[/math]: [math]z(0)=0[/math], [math]z(1)=5[/math].

Аналогичным образом нужно исследовать функцию при [math]x=1,0\leq y\leq 1[/math]; [math]y=0, 0\leq x\leq 1[/math]; [math]y=1, 0\leq x\leq 1[/math] и выбрать из всех полученных значений наибольшее и наименьшее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Yana Kostyuk
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

dmitryi3011

1

50

16 июн 2017, 14:15

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Klyaksa

9

689

14 июн 2014, 18:41

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

gulllak

2

514

12 июн 2013, 14:37

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

lllulll

2

306

29 мар 2014, 16:39

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Tracerzzzzz

7

675

23 ноя 2014, 17:20

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

mkolmi

1

125

05 мар 2018, 21:21

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

natee1000

0

111

01 май 2017, 17:48

Найти наименьшее и наибольшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

vendetta0075

0

151

29 ноя 2016, 19:29

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

bibibo

1

118

19 дек 2016, 15:23

Найти наименьшее и наибольшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

ksukiseleva

2

250

13 сен 2013, 22:44


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved