Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Частные производные неявной функции
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 08:17 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 ноя 2011, 08:59
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Прошу помочь разобраться с заданием:
"Найти первые и вторые частные производные неявной функции [math]x^{yz}= z^{xy}[/math]".

1)Во-первых, исходя из формулировки, как неявные функции нужно рассмотреть все ф-ции - x,y,z. Верно?

2)Можно ли как-то упростить процесс взятия производных? Беря "в лоб" [math]\frac{d z}{d x}= -\frac{ F_{x}^{'} }{ F_{z}^{'} }[/math] ,самая простая получившаяся у меня первая производная, [math]\frac{d z}{d x}= \frac{z(z-xln(z))}{x(x-zln(x))}[/math] Остальные еще посложнее. Теперь если теперь попробовать посчитать вторые производные - получается просто ужас.

3)Я думал, может быть можно прологарифмировать начальную функцию, но как работать с логарифмической производной неявной функции?
В общем, что вы можете посоветовать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Частные производные неявной функции
СообщениеДобавлено: 01 янв 2013, 10:38 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
PalmerB
Используйте при обозначении частных производных не символ [math]d,[/math] а символ [math]\partial.[/math] Например, [math]z_x'=\frac{\partial z}{\partial x}.[/math]

Речь идёт о функции [math]z=f(x;~y),[/math] как я понимаю. Поэтому ничего дифференцировать по переменной [math]z[/math] не надо.

Давайте, действительно, попробуем использовать логарифмирование. Например,
[math]yz\ln x=xy\ln z,[/math]

[math]z\ln x=x\ln z,[/math]

[math](z\ln x)_x'=(x\ln z)_x',[/math]

[math]{z_x'}\ln x+\frac{z}{x}=\ln z+x\frac{z_x'}{z},[/math]

[math]z_x'xz\ln x+z^2=xz\ln z+x^2z_x'~(x \ne 0,~z \ne 0),[/math]

[math]z_x'(xz\ln x-x^2)=xz\ln z-z^2,[/math]

[math]z_x'=\frac{xz\ln z-z^2}{xz\ln x-x^2}.[/math]


Как видите, техника та же, что и при нахождении "обычных" (не частных) производных.

Очевидно, что [math]z_{yx}''=(z_x')_y'=0.[/math] И из выражения
[math]z_x'(xz\ln x-x^2)=xz\ln z-z^2[/math]

получаем
[math](z_x'(xz\ln x-x^2))_x'=(xz\ln z-z^2)_x',[/math]

[math]z_{xx}''(xz\ln x-x^2)+z_x'(xz\ln x-x^2)_x'=(xz\ln z-z^2)_x',[/math]

откуда при известной частной производной [math]z_x'[/math] после дифференцирования по переменной [math]x[/math] соответствующих выражений, заключённых в скобки в левой и правой частях уравнения, можно найти и вторую частную производную [math]z_{xx}''.[/math] Трудоёмко, конечно, но что поделаешь?

Аналогично находятся и частные производные по переменной [math]y.[/math]

При этом [math]z_{xy}''=z_{yx}''[/math] (по теореме Шварца).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
PalmerB
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Частные производные функции

в форуме Дифференциальное исчисление

morozoff

9

480

12 ноя 2018, 12:25

Частные производные от функции

в форуме Дифференциальное исчисление

makc2299

6

340

31 мар 2019, 10:17

Найти частные производные функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

denis1999

2

164

02 ноя 2018, 14:28

Частные производные 1-го и 2-го порядка для функции zf(x, y)

в форуме Дифференциальное исчисление

alexmazepin

1

450

26 май 2016, 12:07

Частные производные функции заданной уравнением

в форуме Дифференциальное исчисление

Sonnymore

1

447

21 июн 2014, 07:29

Частные производные второго порядка функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Tatiana_1

1

198

13 апр 2022, 15:34

Для заданной функции найти все частные производные в т.(0;0)

в форуме Дифференциальное исчисление

Unwhale

7

308

15 авг 2019, 23:15

Частные производные неявно заданной функции

в форуме Дифференциальное исчисление

351w

5

605

12 июн 2018, 08:23

Найти частные производные 1-го порядка следующей функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Sasha_mirz

1

138

11 фев 2021, 12:27

Найти частные производные и полный дифференциал функции

в форуме Дифференциальное исчисление

arrapato

10

881

18 апр 2015, 13:38


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved