Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
PalmerB |
|
|
"Найти первые и вторые частные производные неявной функции [math]x^{yz}= z^{xy}[/math]". 1)Во-первых, исходя из формулировки, как неявные функции нужно рассмотреть все ф-ции - x,y,z. Верно? 2)Можно ли как-то упростить процесс взятия производных? Беря "в лоб" [math]\frac{d z}{d x}= -\frac{ F_{x}^{'} }{ F_{z}^{'} }[/math] ,самая простая получившаяся у меня первая производная, [math]\frac{d z}{d x}= \frac{z(z-xln(z))}{x(x-zln(x))}[/math] Остальные еще посложнее. Теперь если теперь попробовать посчитать вторые производные - получается просто ужас. 3)Я думал, может быть можно прологарифмировать начальную функцию, но как работать с логарифмической производной неявной функции? В общем, что вы можете посоветовать? |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
PalmerB
Используйте при обозначении частных производных не символ [math]d,[/math] а символ [math]\partial.[/math] Например, [math]z_x'=\frac{\partial z}{\partial x}.[/math] Речь идёт о функции [math]z=f(x;~y),[/math] как я понимаю. Поэтому ничего дифференцировать по переменной [math]z[/math] не надо. Давайте, действительно, попробуем использовать логарифмирование. Например, [math]yz\ln x=xy\ln z,[/math] [math]z\ln x=x\ln z,[/math] [math](z\ln x)_x'=(x\ln z)_x',[/math] [math]{z_x'}\ln x+\frac{z}{x}=\ln z+x\frac{z_x'}{z},[/math] [math]z_x'xz\ln x+z^2=xz\ln z+x^2z_x'~(x \ne 0,~z \ne 0),[/math] [math]z_x'(xz\ln x-x^2)=xz\ln z-z^2,[/math] [math]z_x'=\frac{xz\ln z-z^2}{xz\ln x-x^2}.[/math] Как видите, техника та же, что и при нахождении "обычных" (не частных) производных. Очевидно, что [math]z_{yx}''=(z_x')_y'=0.[/math] И из выражения [math]z_x'(xz\ln x-x^2)=xz\ln z-z^2[/math] получаем [math](z_x'(xz\ln x-x^2))_x'=(xz\ln z-z^2)_x',[/math] [math]z_{xx}''(xz\ln x-x^2)+z_x'(xz\ln x-x^2)_x'=(xz\ln z-z^2)_x',[/math] откуда при известной частной производной [math]z_x'[/math] после дифференцирования по переменной [math]x[/math] соответствующих выражений, заключённых в скобки в левой и правой частях уравнения, можно найти и вторую частную производную [math]z_{xx}''.[/math] Трудоёмко, конечно, но что поделаешь? Аналогично находятся и частные производные по переменной [math]y.[/math] При этом [math]z_{xy}''=z_{yx}''[/math] (по теореме Шварца). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали: PalmerB |
||
[ Сообщений: 2 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |