Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти наибольшую высоту треугольника
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2012, 21:49 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
06 дек 2011, 17:01
Сообщений: 385
Cпасибо сказано: 168
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В окружность радиуса R вписан равнобедренный треугольник. При каком значении угла α у вершины треугольника высота, проведенная к боковой стороне, имеет наибольшую длину? Найти эту длину.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: В окружность радиуса R вписан равнобедренный треугольник
СообщениеДобавлено: 01 дек 2012, 10:35 
Дано:
равнобедренный треугольник [math]\Delta\,ABC[/math] вписан в окружность радиуса [math]R[/math].
[math]AB=BC[/math]
[math]\angle ABC=\alpha[/math]
Решение:
Искомая высота [math]AM=AB\cdot\sin\alpha[/math].
Пусть точка [math]O[/math] -центр окружности.
Тогда [math]\angle ABO=\frac{\alpha}{2}[/math],
а значит, [math]\angle AOB=\pi-2\cdot\frac{\alpha}{2}=\pi-\alpha[/math].
По теореме косинусов
[math]AB=\sqrt{R^{2}+R^{2}-2\cdot R\cdot R\cdot\cos\left(\pi-\alpha\right)}=R\cdot\sqrt{2\cdot\left(1+\cos\alpha\right)}=2\cdot R\cdot\cos\frac{\alpha}{2}[/math]
Следовательно, [math]AM=y=2\cdot R\cdot\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\sin\alpha[/math]
[math]y'=\left(2\cdot R\cdot\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\sin\alpha\right)'=2\cdot R\cdot\left(-\frac{\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\sin\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\cos\alpha\right)=0[/math]
Решая графически уравнение [math]-\frac{\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\sin\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\cos\alpha=0[/math]: http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... cos%28x%29,
Получаем [math]\alpha\approx1,24[/math] радиан[math]\approx71,08^{\circ}[/math]
и [math]AM=2\cdot R\cdot \cos\frac{1,24}{2}\cdot\sin1,24=1,55\cdot R[/math].

Вернуться к началу
  
 
За это сообщение пользователю Vadim Shlovikov "Спасибо" сказали:
Yana Kostyuk
 Заголовок сообщения: Re: В окружность радиуса R вписан равнобедренный треугольник
СообщениеДобавлено: 01 дек 2012, 12:16 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Yana Kostyuk
Выполним рисунок
Изображение


Из рисунка видно, что
[math]h=|BD|=|AB|\sin\alpha=2R\sin\gamma\sin\alpha=2R\sin\frac{\pi-\alpha}{2}\sin\alpha=2R\cdot\frac{1}{2}\bigg(\cos\frac{\pi-3\alpha}{2}-\cos\frac{\pi+\alpha}{2}\bigg)=[/math]

[math]=R\bigg(\sin\frac{3\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\bigg)=2R\sin\alpha\cos\frac{\alpha}{2}.[/math]


Тогда [math]h_{\alpha}'=2R\bigg(\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}\sin\alpha\sin\frac{\alpha}{2}\bigg).[/math] Для нахождения экстремума функции [math]h(\alpha)[/math] приравняем производную [math]h_{\alpha}'[/math] нулю и решим получившееся тригонометрическое уравнение:
[math]h_{\alpha}'=2R\bigg(\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}\sin\alpha\sin\frac{\alpha}{2}\bigg)=0,[/math]

[math]\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}\sin\alpha\sin\frac{\alpha}{2}=0,[/math]

[math][/math]

[math]\bigg(1-2\sin^2 \frac{\alpha}{2}\bigg)\cos\frac{\alpha}{2}-\sin^2 \frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=0,[/math]

[math]\cos\frac{\alpha}{2}\bigg(1-3\sin^2 \frac{\alpha}{2}\bigg)=0.[/math]


Последнее уравнение распадается на два:
1) [math]\cos\frac{\alpha}{2}=0~\Rightarrow~\alpha=\pi,[/math] чему не соответствует никакой треугольник;
2) [math]1-3\sin^2 \frac{\alpha}{2}=0~\Rightarrow~\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt\frac{1}{3},~\alpha=2\arcsin\sqrt\frac{1}{3}\approx 1,23096 \approx 70^{\circ}31'44''.[/math]

При [math]\alpha=2\arcsin\sqrt\frac{1}{3}[/math] имеем [math]\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\sin^2 \frac{\alpha}{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt\frac{2}{3},~\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=2\cdot\sqrt\frac{2}{3}\cdot\sqrt\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.[/math] Тогда
[math]h\bigg(2\arcsin\sqrt\frac{1}{3}\bigg)=h_{\max}=2R\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\sqrt\frac{2}{3}=\frac{8R}{3\sqrt{3}}\approx 1,5396R.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
Alexdemath, mad_math, Yana Kostyuk
 Заголовок сообщения: Re: В окружность радиуса R вписан равнобедренный треугольник
СообщениеДобавлено: 01 дек 2012, 12:27 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Правильно оба решили, но Шловиков немного точности потерял.
Максимум проще находить, заменяя синус половинного угла за новую переменную

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали:
Alexdemath, mad_math, Yana Kostyuk
 Заголовок сообщения: Re: В окружность радиуса R вписан равнобедренный треугольник
СообщениеДобавлено: 02 дек 2012, 11:03 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
06 дек 2011, 17:01
Сообщений: 385
Cпасибо сказано: 168
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а помогите еще, пожалуйста
В конус с заданным постоянным объемом вписана пирамида, основой которой является равнобедренный треугольник с углом φ у вершины. При каком значении φ объем пирамиды будет наибольшим?
Спасибо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: В окружность радиуса R вписан равнобедренный треугольник
СообщениеДобавлено: 02 дек 2012, 12:57 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3323
Cпасибо сказано: 239
Спасибо получено:
999 раз в 863 сообщениях
Очков репутации: 272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Yana Kostyuk писал(а):
а помогите еще, пожалуйста
В конус с заданным постоянным объемом вписана пирамида, основой которой является равнобедренный треугольник с углом φ у вершины. При каком значении φ объем пирамиды будет наибольшим?
Спасибо

Задача сформулирована (поставлена) плохо.Известно , что равносторонний треугольник, вписанный в окружность имеет наибольшую площадь т.е.
фи равно 60 градусов.Наибольший объем пирамиды зависит также от ее высоты.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: В окружность радиуса R вписан равнобедренный треугольник
СообщениеДобавлено: 02 дек 2012, 18:11 
Дано:
Пирамида [math]ABCD[/math] вписана в конус.
[math]\Delta ABC[/math]-равнобедренный.
[math]AB=BC[/math]
[math]\angle ABC=\varphi[/math]
Решение: Объём пирамиды равен [math]V=\frac{1}{3}\cdot S_{OCH}\cdot H[/math].
Из условия следует, что [math]\Delta ABC[/math] вписан в окружность.
Пусть точка [math]O[/math]- центр окружности, а [math]R[/math]- радиус окружности.
В таком случае [math]\angle ABO=\frac{\varphi}{2}[/math],
а [math]\angle AOB=\pi-2\cdot\frac{\varphi}{2}=\pi-\varphi[/math].
Следовательно, по теореме косинусов:
[math]AB=\sqrt{R^{2}+R^{2}-2\cdot R\cdot R\cdot\cos\left(\pi-\varphi\right)}=R\cdot\sqrt{2\cdot\left(1+\cos\varphi\right)}=2\cdot R\cdot\cos\frac{\varphi}{2}[/math].
[math]AB=BC[/math].
А значит, [math]S_{OCH}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin\varphi=\frac{1}{2}\cdot4\cdot R^{2}\cdot\cos^{2}\frac{\varphi}{2}\cdot\sin\varphi=2\cdot R^{2}\cdot\frac{1+\cos\varphi}{2}\cdot\sin\varphi=R^{2}\cdot\left(\sin\varphi+\cos\varphi\cdot\sin\varphi\right)[/math]
Рассмотрим функцию [math]y=\sin\varphi+\cos\varphi\cdot\sin\varphi[/math]. Её точки экстремума есть решения задачи.
[math]y'=\left(\sin\varphi+\cos\varphi\cdot\sin\varphi\right)'=\cos\varphi-\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=0[/math]
[math]\cos\varphi-1+\cos^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=0[/math].
[math]2\cdot\cos^{2}\varphi+\cos\varphi-1=0[/math].
Делаем замену переменной [math]\cos\varphi=t[/math].
Получаем [math]2\cdot t^{2}+t-1=0[/math].
[math]D=1-4\cdot2\cdot\left(-1\right)=9;\;\sqrt{D}=3[/math].
[math]t_1=\frac{-1-3}{4}=-1[/math].
[math]t_2=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}[/math].
[math]t_1=\cos\varphi=-1;\;\varphi=\pi[/math]- минимальное значение [math]S_{OCH}[/math].
[math]t_2=\cos\varphi=\frac{1}{2}; \; \varphi=\frac{\pi}{3}[/math].
Ответ: [math]\varphi=\frac{\pi}{3}[/math].

Вернуться к началу
  
 
За это сообщение пользователю Vadim Shlovikov "Спасибо" сказали:
Yana Kostyuk
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти наибольшую крутизну поверхности

в форуме Дифференциальное исчисление

sfanter

1

718

03 мар 2016, 18:30

Найти: 1) наибольшую скорость возрастания функции в точке A

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

_Help_

1

293

21 фев 2022, 19:51

Найти высоту

в форуме Геометрия

kicultanya

13

1199

04 мар 2018, 19:46

Найти высоту

в форуме Геометрия

ilyall3

1

206

23 окт 2019, 20:14

Найти высоту СН

в форуме Геометрия

kicultanya

9

399

02 янв 2017, 12:18

Найти высоту пирамиды

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

sunnyiine

4

1675

22 ноя 2014, 10:04

Найти высоту пирамиды

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Adel2015

1

913

04 дек 2016, 20:43

Найти высоту параллелепипеда

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

sfanter

3

695

08 ноя 2015, 05:45

Найти высоту пирамиды

в форуме Геометрия

lika01

5

1511

10 май 2014, 13:30

Найти высоту параллелепипеда

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

HUEHUEHUE

1

3228

12 окт 2014, 19:54


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved