Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Yana Kostyuk |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Vadim Shlovikov |
|
|
|
Дано:
равнобедренный треугольник [math]\Delta\,ABC[/math] вписан в окружность радиуса [math]R[/math]. [math]AB=BC[/math] [math]\angle ABC=\alpha[/math] Решение: Искомая высота [math]AM=AB\cdot\sin\alpha[/math]. Пусть точка [math]O[/math] -центр окружности. Тогда [math]\angle ABO=\frac{\alpha}{2}[/math], а значит, [math]\angle AOB=\pi-2\cdot\frac{\alpha}{2}=\pi-\alpha[/math]. По теореме косинусов [math]AB=\sqrt{R^{2}+R^{2}-2\cdot R\cdot R\cdot\cos\left(\pi-\alpha\right)}=R\cdot\sqrt{2\cdot\left(1+\cos\alpha\right)}=2\cdot R\cdot\cos\frac{\alpha}{2}[/math] Следовательно, [math]AM=y=2\cdot R\cdot\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\sin\alpha[/math] [math]y'=\left(2\cdot R\cdot\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\sin\alpha\right)'=2\cdot R\cdot\left(-\frac{\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\sin\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\cos\alpha\right)=0[/math] Решая графически уравнение [math]-\frac{\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\sin\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\cos\alpha=0[/math]: http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... cos%28x%29, Получаем [math]\alpha\approx1,24[/math] радиан[math]\approx71,08^{\circ}[/math] и [math]AM=2\cdot R\cdot \cos\frac{1,24}{2}\cdot\sin1,24=1,55\cdot R[/math]. |
|
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Vadim Shlovikov "Спасибо" сказали: Yana Kostyuk |
||
Andy |
|
|
Yana Kostyuk
Выполним рисунок Из рисунка видно, что [math]h=|BD|=|AB|\sin\alpha=2R\sin\gamma\sin\alpha=2R\sin\frac{\pi-\alpha}{2}\sin\alpha=2R\cdot\frac{1}{2}\bigg(\cos\frac{\pi-3\alpha}{2}-\cos\frac{\pi+\alpha}{2}\bigg)=[/math] [math]=R\bigg(\sin\frac{3\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\bigg)=2R\sin\alpha\cos\frac{\alpha}{2}.[/math] Тогда [math]h_{\alpha}'=2R\bigg(\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}\sin\alpha\sin\frac{\alpha}{2}\bigg).[/math] Для нахождения экстремума функции [math]h(\alpha)[/math] приравняем производную [math]h_{\alpha}'[/math] нулю и решим получившееся тригонометрическое уравнение: [math]h_{\alpha}'=2R\bigg(\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}\sin\alpha\sin\frac{\alpha}{2}\bigg)=0,[/math] [math]\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}\sin\alpha\sin\frac{\alpha}{2}=0,[/math] [math][/math] [math]\bigg(1-2\sin^2 \frac{\alpha}{2}\bigg)\cos\frac{\alpha}{2}-\sin^2 \frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=0,[/math] [math]\cos\frac{\alpha}{2}\bigg(1-3\sin^2 \frac{\alpha}{2}\bigg)=0.[/math] Последнее уравнение распадается на два: 1) [math]\cos\frac{\alpha}{2}=0~\Rightarrow~\alpha=\pi,[/math] чему не соответствует никакой треугольник; 2) [math]1-3\sin^2 \frac{\alpha}{2}=0~\Rightarrow~\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt\frac{1}{3},~\alpha=2\arcsin\sqrt\frac{1}{3}\approx 1,23096 \approx 70^{\circ}31'44''.[/math] При [math]\alpha=2\arcsin\sqrt\frac{1}{3}[/math] имеем [math]\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\sin^2 \frac{\alpha}{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt\frac{2}{3},~\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=2\cdot\sqrt\frac{2}{3}\cdot\sqrt\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.[/math] Тогда [math]h\bigg(2\arcsin\sqrt\frac{1}{3}\bigg)=h_{\max}=2R\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\sqrt\frac{2}{3}=\frac{8R}{3\sqrt{3}}\approx 1,5396R.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали: Alexdemath, mad_math, Yana Kostyuk |
||
MihailM |
|
|
Правильно оба решили, но Шловиков немного точности потерял.
Максимум проще находить, заменяя синус половинного угла за новую переменную |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали: Alexdemath, mad_math, Yana Kostyuk |
||
Yana Kostyuk |
|
|
а помогите еще, пожалуйста
В конус с заданным постоянным объемом вписана пирамида, основой которой является равнобедренный треугольник с углом φ у вершины. При каком значении φ объем пирамиды будет наибольшим? Спасибо |
||
Вернуться к началу | ||
vvvv |
|
|
Yana Kostyuk писал(а): а помогите еще, пожалуйста В конус с заданным постоянным объемом вписана пирамида, основой которой является равнобедренный треугольник с углом φ у вершины. При каком значении φ объем пирамиды будет наибольшим? Спасибо Задача сформулирована (поставлена) плохо.Известно , что равносторонний треугольник, вписанный в окружность имеет наибольшую площадь т.е. фи равно 60 градусов.Наибольший объем пирамиды зависит также от ее высоты. |
||
Вернуться к началу | ||
Vadim Shlovikov |
|
|
|
Дано:
Пирамида [math]ABCD[/math] вписана в конус. [math]\Delta ABC[/math]-равнобедренный. [math]AB=BC[/math] [math]\angle ABC=\varphi[/math] Решение: Объём пирамиды равен [math]V=\frac{1}{3}\cdot S_{OCH}\cdot H[/math]. Из условия следует, что [math]\Delta ABC[/math] вписан в окружность. Пусть точка [math]O[/math]- центр окружности, а [math]R[/math]- радиус окружности. В таком случае [math]\angle ABO=\frac{\varphi}{2}[/math], а [math]\angle AOB=\pi-2\cdot\frac{\varphi}{2}=\pi-\varphi[/math]. Следовательно, по теореме косинусов: [math]AB=\sqrt{R^{2}+R^{2}-2\cdot R\cdot R\cdot\cos\left(\pi-\varphi\right)}=R\cdot\sqrt{2\cdot\left(1+\cos\varphi\right)}=2\cdot R\cdot\cos\frac{\varphi}{2}[/math]. [math]AB=BC[/math]. А значит, [math]S_{OCH}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin\varphi=\frac{1}{2}\cdot4\cdot R^{2}\cdot\cos^{2}\frac{\varphi}{2}\cdot\sin\varphi=2\cdot R^{2}\cdot\frac{1+\cos\varphi}{2}\cdot\sin\varphi=R^{2}\cdot\left(\sin\varphi+\cos\varphi\cdot\sin\varphi\right)[/math] Рассмотрим функцию [math]y=\sin\varphi+\cos\varphi\cdot\sin\varphi[/math]. Её точки экстремума есть решения задачи. [math]y'=\left(\sin\varphi+\cos\varphi\cdot\sin\varphi\right)'=\cos\varphi-\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=0[/math] [math]\cos\varphi-1+\cos^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=0[/math]. [math]2\cdot\cos^{2}\varphi+\cos\varphi-1=0[/math]. Делаем замену переменной [math]\cos\varphi=t[/math]. Получаем [math]2\cdot t^{2}+t-1=0[/math]. [math]D=1-4\cdot2\cdot\left(-1\right)=9;\;\sqrt{D}=3[/math]. [math]t_1=\frac{-1-3}{4}=-1[/math]. [math]t_2=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}[/math]. [math]t_1=\cos\varphi=-1;\;\varphi=\pi[/math]- минимальное значение [math]S_{OCH}[/math]. [math]t_2=\cos\varphi=\frac{1}{2}; \; \varphi=\frac{\pi}{3}[/math]. Ответ: [math]\varphi=\frac{\pi}{3}[/math]. |
|
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Vadim Shlovikov "Спасибо" сказали: Yana Kostyuk |
||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Найти наибольшую крутизну поверхности
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
718 |
03 мар 2016, 18:30 |
|
Найти: 1) наибольшую скорость возрастания функции в точке A
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
1 |
293 |
21 фев 2022, 19:51 |
|
Найти высоту
в форуме Геометрия |
13 |
1199 |
04 мар 2018, 19:46 |
|
Найти высоту
в форуме Геометрия |
1 |
206 |
23 окт 2019, 20:14 |
|
Найти высоту СН
в форуме Геометрия |
9 |
399 |
02 янв 2017, 12:18 |
|
Найти высоту пирамиды | 4 |
1675 |
22 ноя 2014, 10:04 |
|
Найти высоту пирамиды | 1 |
913 |
04 дек 2016, 20:43 |
|
Найти высоту параллелепипеда | 3 |
695 |
08 ноя 2015, 05:45 |
|
Найти высоту пирамиды
в форуме Геометрия |
5 |
1511 |
10 май 2014, 13:30 |
|
Найти высоту параллелепипеда | 1 |
3228 |
12 окт 2014, 19:54 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |