Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Производная с несчётным числом разрывов
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2012, 12:06 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
В общем, я понял: функция Дирихле не является интегрируемой по Риману, а её интеграл по Лебегу на любом числовом промежутке равен нулю. Поэтому придуманный мной пример неудачен.

Здесь http://page-book.ru/i147711#page написано, что всякая функция с разрывом в виде скачка не имеет первообразной (примитивной). А здесь http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/14/book14_8.pdf на с. 359 приводится пример функции, имеющей несчётное число точек разрыва. Значит, её первообразная существует и является искомой?
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
Human
 Заголовок сообщения: Re: Производная с несчётным числом разрывов
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2012, 12:14 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma

Я пока не понимаю, как этот абзац отвечает на мой вопрос или на вопрос Andy. Можете объяснить?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Производная с несчётным числом разрывов
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2012, 12:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
Здесь http://page-book.ru/i147711#page написано, что всякая функция с разрывом в виде скачка не имеет первообразной (примитивной).


О, не знал, что производная дифференцируемой функции тоже должна принимать промежуточные значения. Надо будет потом найти доказательство этого факта.

Если это правда, то у функции Дирихле действительно не существует первообразной.

Andy писал(а):
А здесь http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/14/book14_8.pdf на с. 359 приводится пример функции, имеющей несчётное число точек разрыва. Значит, её первообразная существует и является искомой?


Такая функция тоже не будет иметь первообразной по указанной выше причине: она не принимает промежуточные значения между 0 и 1.
Интеграл по Риману с переменным верхним пределом от некоторой функции, вообще говоря, не обязательно является первообразной этой функции. Например, такой интеграл от функции [math]\operatorname{sgn}x[/math] даёт функцию [math]|x|[/math], которая не дифференцируема в нуле.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Производная с несчётным числом разрывов
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2012, 12:45 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
erjoma

Я пока не понимаю, как этот абзац отвечает на мой вопрос или на вопрос Andy. Можете объяснить?


Вы хотите найти котрпример к гипотезе Ампера.

В 1806 году Ампер[2] предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента. При этом принималось за очевидное возможность разбиения интервала изменения аргумента на части, в которых функция была бы монотонна. С этими оговорками гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку теоремы Лебега[3]. В первой половине XIX века предпринимались попытки доказать гипотезу Ампера для более широкого класса, именно для всех непрерывных функций. В 1861 году Риман привел своим слушателям в качестве контрпримера следующую функцию

[math]r\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sin {n^2}x}}{{{n^2}}}}[/math];

однако исследование дифференцируемости этой функции чрезвычайно сложно, в 1970 году Дж. Джевер доказал, что эта функция все же имеет производную в некоторых рациональных точках. В 1872 году Вейерштрасс указал более простой контрпример — введенную выше функцию и представил строгое доказательство ее недифференцируемости.[4] В печати этот пример впервые появился в 1875 году в работе Дюбуа-Реймона[5]. Еще более простой пример принадлежит ван дер Вардену (1930):

[math]v\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left\{ {{{10}^n}x} \right\}}}{{{{10}^n}}}}[/math],

где фигурные скобки означают взятие дробной части. [6]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
Alexdemath, Andy, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Производная с несчётным числом разрывов
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2012, 13:25 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma

Как ни старался, так и не понял связи между гипотезой Ампера и моим вопросом. :(
Или Вы имели в виду, что подойдёт функция Вейерштрасса? Она ведь непрерывна, а мне нужна разрывная функция.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Производная с несчётным числом разрывов
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2012, 13:44 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Составьте функцию равную функции Вейерштрассе на некотором конечном отрезке, а вне отрезка задавайте как хотите.


Последний раз редактировалось erjoma 18 ноя 2012, 13:57, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Производная с несчётным числом разрывов
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2012, 13:54 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
...
А можно ли составить функцию, чтобы её производная была везде определена и имела несчётное множество разрывов?


В 1806 году Ампер предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента.

Human писал(а):
erjoma

Как ни старался, так и не понял связи между гипотезой Ампера и моим вопросом. :(
...


Вы хотите опровергнуть то, что пытался доказать Ампер. Вот и вся связь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Производная с несчётным числом разрывов
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2012, 14:06 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma

Так, ещё раз.
Мне нужно найти дифференцируемую на [math]\mathbb{R}[/math] функцию [math]f(x)[/math] такую, что её производная [math]f'(x)[/math] на [math]\mathbb{R}[/math] имеет несчётное число разрывов.

Вы предлагаете в качестве [math]f'(x)[/math] взять

erjoma писал(а):
функцию содержащую функцию Вейерштрассе на некотором конечном отрезке, а вне отрезка задавайте как хотите.


я правильно понимаю?

Если так, то как задавать вне отрезка? На отрезке производная непрерывна, и мне по-прежнему нужно обеспечить наличие несчётного числа точек разрыва, но при произвольном задании я не могу гарантировать у полученной функции существование первообразной [math]f(x)[/math].

erjoma писал(а):
В 1806 году Ампер предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента.


В такой формулировке гипотеза Ампера мне абсолютно непонятна. Почему "произвольная" в кавычках? Значит всё-таки не произвольная? И что значит «исключительных и изолированных»?
Нет ли строгой формальной формулировки, чтобы мне всё было понятно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Производная с несчётным числом разрывов
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2012, 14:52 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
erjoma

Так, ещё раз.
Мне нужно найти дифференцируемую на [math]\mathbb{R}[/math] функцию [math]f(x)[/math] такую, что её производная [math]f'(x)[/math] на [math]\mathbb{R}[/math] имеет несчётное число разрывов.

Вы предлагаете в качестве [math]f'(x)[/math] взять

erjoma писал(а):
функцию содержащую функцию Вейерштрассе на некотором конечном отрезке, а вне отрезка задавайте как хотите.


я правильно понимаю?



Не в качестве производной [math]f'(x)[/math], а в качестве [math]f(x)[/math].



Human писал(а):


erjoma писал(а):
В 1806 году Ампер предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента.


В такой формулировке гипотеза Ампера мне абсолютно непонятна. Почему "произвольная" в кавычках? Значит всё-таки не произвольная? И что значит «исключительных и изолированных»?
Нет ли строгой формальной формулировки, чтобы мне всё было понятно?


«исключительных и изолированных» = не более, чем счетно.
«произвольная» функция = возможность разбиения интервала изменения аргумента на части, в которых функция была бы монотонна.


Последний раз редактировалось erjoma 18 ноя 2012, 15:08, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Производная с несчётным числом разрывов
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2012, 15:05 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma писал(а):
Не в качестве производной [math]f'(x)[/math] , а в качестве [math]f(x)[/math] .


Так она недифференцируема (потому что функция Вейерштрасса недифференцируема), а мне нужна дифференцируемая [math]f(x)[/math].

erjoma писал(а):
«исключительных и изолированных» = не более, чем счетно.
«произвольная» функция = возможность разбиения интервала изменения аргумента на части, в которых функция была бы монотонна.


Ясно. Вот только теперь я точно уверен, что гипотеза Ампера не имеет отношения к моему вопросу. Отрицание гипотезы Ампера: существует "произвольная" функция, дифференцируемая в не более чем счетном множетсве точек. Мой вопрос: существует дифференцируемая всюду функция, у которой производная имеет более чем счётное число точек разрыва. Не вижу ничего общего.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.  Страница 2 из 5 [ Сообщений: 44 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разница между счётным и несчётным объединением

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Shadow228

9

229

16 апр 2022, 16:55

Что не так с числом 78?

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Xenia1996

10

639

29 янв 2021, 00:45

Действие с числом e

в форуме Алгебра

faiter_on

3

474

11 сен 2014, 17:18

Операция с числом

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Nastya Way

1

579

23 фев 2016, 17:37

Решение с числом j

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Kira_77717

6

530

03 сен 2014, 18:02

Действие с комплексным числом

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Anastasiad1123

3

363

27 янв 2016, 20:48

Упростить ряд с числом сочетаний

в форуме Ряды

darthanyan

2

505

07 ноя 2018, 14:25

Действия с числом 9, как решить без перебора?

в форуме Размышления по поводу и без

Xenia1996

4

494

24 сен 2017, 09:58

Вероятность достать шар с нужным числом

в форуме Теория вероятностей

kibernetics

10

548

06 мар 2017, 12:17

Ряд Котельникова с ограниченным числом членов

в форуме Ряды

SmittWesson

11

536

12 апр 2016, 07:39


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved