Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Второй дифференциал. Он так считается?
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=18705
Страница 1 из 1

Автор:  ole-ole-ole [ 18 окт 2012, 01:03 ]
Заголовок сообщения:  Второй дифференциал. Он так считается?

Если [math]z=z\big((x(u,v),y(u,v)\Big)[/math]

[math]dz=\frac{\partial z}{\partial x} dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy=\frac{\partial z}{\partial x} \Big(\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}dv\Big) +\frac{\partial z}{\partial y} \Big(\frac{\partial y}{\partial u}du+\frac{\partial y}{\partial v}dv\Big)[/math]

[math]d^2z=d\Big(\frac{\partial z}{\partial x} dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\Big)=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \Big(\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}\Big) +\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \Big(\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}dv\Big)[/math]

Чую, что что-то пропустил, но что именно?

Автор:  Human [ 18 окт 2012, 01:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Второй дифференциал. Он так считается?

Тут всё будет намного круче.

[math]d^2z=z_{uu}''du^2+2z_{uv}''dudv+z_{vv}''dv^2[/math]


[math]z_u'=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u},\ z_v'=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}[/math]

[math]z_{uu}''=\left(\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}\right)\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial^2x}{\partial u^2}+\left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial^2z}{\partial y^2}\frac{\partial y}{\partial u}\right)\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial^2y}{\partial u^2}[/math]

[math]z_{vv}''=\left(\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}\right)\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial^2x}{\partial v^2}+\left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial^2z}{\partial y^2}\frac{\partial y}{\partial v}\right)\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial^2y}{\partial v^2}[/math]

[math]z_{uv}''=\left(\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}\right)\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial^2x}{\partial u\partial v}+\left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial^2z}{\partial y^2}\frac{\partial y}{\partial v}\right)\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial^2y}{\partial u\partial v}[/math]

Автор:  Human [ 18 окт 2012, 02:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Второй дифференциал. Он так считается?

Намного удобнее записывать подобные формулы с помощью тензорного исчисления. Но Вы, скорее всего, его не проходили.

Автор:  Prokop [ 18 окт 2012, 08:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Второй дифференциал. Он так считается?

Разве второй дифференциал является тензором?

Автор:  ole-ole-ole [ 18 окт 2012, 14:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Второй дифференциал. Он так считается?

Да, что-то слышал только краем уха про тензоры) Спасибо, остался один вопрос (ну точнее 6 вопросов, но получится 1, если сделать замену переменных :D1 )

Почему выполняется это равенство?

[math]\frac{\partial}{\partial u}\Big(\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}\Big)=\left(\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}\right)[/math]

Ведь можно написать так

[math]\frac{\partial}{\partial u}\Big(\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}\Big)=\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}\Big)\frac{\partial x}{\partial u}=\left(\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}\right)\frac{\partial x}{\partial u}[/math]

Автор:  Human [ 18 окт 2012, 19:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Второй дифференциал. Он так считается?

Prokop

Нет, я имел в виду свёртки по индексам (они, вроде как, впервые именно в тензорном исчислении использовались, поэтому я и приплёл его сюда). Тогда все эти три формулы запишутся одной достаточно короткой:

[math]z_{u_iu_j}''=\frac{\partial^2z}{\partial x_k\partial x_l}\cdot\frac{\partial x_k}{\partial u_i}\cdot\frac{\partial x_l}{\partial u_j}+\frac{\partial z}{\partial x_m}\cdot\frac{\partial^2x_m}{\partial u_i\partial u_j}[/math]

Здесь все индексы принимают значение либо 1, либо 2, причём в правой части равенства по одинаковым индексам идёт суммирование.

ole-ole-ole

С чего Вы взяли, что оно выполняется? Если продифференцировать это выражение по [math]u[/math], то получится ровно то, что написано в [math]z_{uu}''[/math].

Автор:  ole-ole-ole [ 18 окт 2012, 23:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Второй дифференциал. Он так считается?

Спасибо, все, теперь понял)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/