Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Второй дифференциал. Он так считается?
СообщениеДобавлено: 18 окт 2012, 02:03 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 апр 2012, 01:41
Сообщений: 70
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если [math]z=z\big((x(u,v),y(u,v)\Big)[/math]

[math]dz=\frac{\partial z}{\partial x} dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy=\frac{\partial z}{\partial x} \Big(\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}dv\Big) +\frac{\partial z}{\partial y} \Big(\frac{\partial y}{\partial u}du+\frac{\partial y}{\partial v}dv\Big)[/math]

[math]d^2z=d\Big(\frac{\partial z}{\partial x} dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\Big)=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \Big(\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}\Big) +\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \Big(\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}dv\Big)[/math]

Чую, что что-то пропустил, но что именно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Второй дифференциал. Он так считается?
СообщениеДобавлено: 18 окт 2012, 02:48 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4068
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1794 раз в 1496 сообщениях
Очков репутации: 373

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тут всё будет намного круче.

[math]d^2z=z_{uu}''du^2+2z_{uv}''dudv+z_{vv}''dv^2[/math]


[math]z_u'=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u},\ z_v'=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}[/math]

[math]z_{uu}''=\left(\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}\right)\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial^2x}{\partial u^2}+\left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial^2z}{\partial y^2}\frac{\partial y}{\partial u}\right)\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial^2y}{\partial u^2}[/math]

[math]z_{vv}''=\left(\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}\right)\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial^2x}{\partial v^2}+\left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial^2z}{\partial y^2}\frac{\partial y}{\partial v}\right)\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial^2y}{\partial v^2}[/math]

[math]z_{uv}''=\left(\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}\right)\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial^2x}{\partial u\partial v}+\left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial^2z}{\partial y^2}\frac{\partial y}{\partial v}\right)\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial^2y}{\partial u\partial v}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
ole-ole-ole, Vadim Shlovikov
 Заголовок сообщения: Re: Второй дифференциал. Он так считается?
СообщениеДобавлено: 18 окт 2012, 03:00 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4068
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1794 раз в 1496 сообщениях
Очков репутации: 373

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Намного удобнее записывать подобные формулы с помощью тензорного исчисления. Но Вы, скорее всего, его не проходили.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Второй дифференциал. Он так считается?
СообщениеДобавлено: 18 окт 2012, 09:59 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Разве второй дифференциал является тензором?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Второй дифференциал. Он так считается?
СообщениеДобавлено: 18 окт 2012, 15:00 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 апр 2012, 01:41
Сообщений: 70
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, что-то слышал только краем уха про тензоры) Спасибо, остался один вопрос (ну точнее 6 вопросов, но получится 1, если сделать замену переменных :D1 )

Почему выполняется это равенство?

[math]\frac{\partial}{\partial u}\Big(\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}\Big)=\left(\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}\right)[/math]

Ведь можно написать так

[math]\frac{\partial}{\partial u}\Big(\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}\Big)=\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}\Big)\frac{\partial x}{\partial u}=\left(\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}\right)\frac{\partial x}{\partial u}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Второй дифференциал. Он так считается?
СообщениеДобавлено: 18 окт 2012, 20:18 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4068
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1794 раз в 1496 сообщениях
Очков репутации: 373

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop

Нет, я имел в виду свёртки по индексам (они, вроде как, впервые именно в тензорном исчислении использовались, поэтому я и приплёл его сюда). Тогда все эти три формулы запишутся одной достаточно короткой:

[math]z_{u_iu_j}''=\frac{\partial^2z}{\partial x_k\partial x_l}\cdot\frac{\partial x_k}{\partial u_i}\cdot\frac{\partial x_l}{\partial u_j}+\frac{\partial z}{\partial x_m}\cdot\frac{\partial^2x_m}{\partial u_i\partial u_j}[/math]

Здесь все индексы принимают значение либо 1, либо 2, причём в правой части равенства по одинаковым индексам идёт суммирование.

ole-ole-ole

С чего Вы взяли, что оно выполняется? Если продифференцировать это выражение по [math]u[/math], то получится ровно то, что написано в [math]z_{uu}''[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
ole-ole-ole
 Заголовок сообщения: Re: Второй дифференциал. Он так считается?
СообщениеДобавлено: 19 окт 2012, 00:27 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 апр 2012, 01:41
Сообщений: 70
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, все, теперь понял)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Второй дифференциал

в форуме Дифференциальное исчисление

Xo6ut

10

431

28 фев 2015, 02:19

Второй дифференциал в Maple

в форуме Maple

theanton3399

0

349

27 сен 2015, 18:32

Второй дифференциал двумя способами

в форуме Дифференциальное исчисление

351w

3

67

14 апр 2018, 03:37

Найти второй дифференциал неявной функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Sovegi

1

69

04 дек 2017, 21:11

Найти первый и второй дифференциал для функции

в форуме Дифференциальное исчисление

letuswedge

2

59

07 дек 2017, 13:24

Второй замечательный

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

BistriyGonzales

2

180

06 мар 2016, 21:31

Второй замечательный предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Onmind

3

197

07 янв 2014, 22:28

График второй производной

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Rin

1

520

17 янв 2013, 00:04

Второй замечательный предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Scur

1

315

23 янв 2013, 00:59

Как подогнать под второй замечательный?

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

sfanter

1

135

23 янв 2016, 07:52


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved