Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
EEEVVVA |
|
|
Найти производную функцию [math]U(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{5x+2y+2z}}[/math] в точке [math]M_0=(1;1;1)[/math] по направлению вектора [math]\boldsymbol{s}=(2;2;1)[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
EEEVVVA
Если функция [math]U=U(x;~y;~z)[/math] дифференцируема, то производная в данном направлении [math]\vec S[/math] определяется по формуле [math]\frac{dU}{dS}=\frac{\partial U}{\partial x}\cos \alpha + \frac{\partial U}{\partial y}\cos \beta + \frac{\partial U}{\partial z}\cos \gamma = \vec N \cdot {\vec S}_{0},[/math] где [math]\vec N = \left\{\frac{\partial U}{\partial x};~\frac{\partial U}{\partial y};~\frac{\partial U}{\partial z}\right\}[/math] - нормальный вектор поверхности уровня; [math]{\vec S}_{0}=\left\{\cos \alpha;~\cos \beta;~\cos \gamma\right\}[/math] - единичный вектор направления [math]\vec S.[/math] В рассматриваемом задании имеем [math]U=\frac{1}{\sqrt{5x+2y+2z}}=(5x+2y+2z)^{-\frac{1}{2}},[/math] [math]\frac{\partial U}{\partial x}=5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(5x+2y+2z)^{-\frac{3}{2}}=-\frac{5}{2(5x+2y+2z)\sqrt{5x+2y+2z}},~{\frac{\partial U}{\partial x}} \Bigg|_{M_0}=-\frac{5}{54};[/math] [math]\frac{\partial U}{\partial y}=2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(5x+2y+2z)^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{(5x+2y+2z)\sqrt{5x+2y+2z}},~{\frac{\partial U}{\partial y}} \Bigg|_{M_0}=-\frac{1}{27};[/math] [math]\frac{\partial U}{\partial z}=2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(5x+2y+2z)^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{(5x+2y+2z)\sqrt{5x+2y+2z}},~{\frac{\partial U}{\partial z}} \Bigg|_{M_0}=-\frac{1}{27};[/math] [math]\cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{2}{3};[/math] [math]\cos \beta=\frac{2}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{2}{3};[/math] [math]\cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{1}{3};[/math] [math]\frac{dU}{dS}\Bigg|_{M_0}=-\frac{5}{54}\cdot\frac{2}{3}-\frac{1}{27}\cdot\frac{2}{3}-\frac{1}{27}\cdot\frac{1}{3}=-\frac{10+4+2}{162}=-\frac{16}{162}=-\frac{8}{81}.[/math] Ответ: [math]-\frac{8}{81}.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали: Alexdemath, EEEVVVA |
||
EEEVVVA |
|
|
Спасибо большое за помощь)
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 3 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |