Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследовать на экстремум функцию двух переменных
СообщениеДобавлено: 13 окт 2010, 01:26 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
05 апр 2010, 17:56
Сообщений: 93
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не получается задание, нужна ваша помощь.

Исследовать на экстремум функцию двух переменных:

[math]f(x,y)=x^3+y^3-3axy+1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на экстремум функцию
СообщениеДобавлено: 13 окт 2010, 14:48 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18633
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11180
Спасибо получено:
5067 раз в 4578 сообщениях
Очков репутации: 686

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
находите частные производные первого порядка, приравниваете из нулю и из получившейся системы находите координаты стационарных точек. затем находите частные производные второго порядка и значение выражения [math]AC-B^2[/math] в каждой из найденных стационарных точек, где [math]A=f''_{xx}(x_0;y_0),B=f''_{xy}(x_0;y_0),C=f''_{yy}(x_0;y_0)[/math], а [math](x_0;y_0)[/math] - координаты стационарной точки.

если [math]AC-B^2>0[/math] , то функция ƒ(х;у) в точке [math](x_0;y_0)[/math] имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;
если [math]AC-B^2<0[/math] , то в точке [math](x_0;y_0)[/math] экстремума нет;
если [math]AC-B^2=0[/math] , то в данной точке экстремум может быть, а может и не быть и необходимы дополнительные исследования.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Alexdemath, mds
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на экстремум функцию
СообщениеДобавлено: 13 окт 2010, 21:51 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
05 апр 2010, 17:56
Сообщений: 93
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Исправьте, пожалуйта, если есть ошибки, и помогите доделать:

Нахожу частные производные первого порядка:
[math]f'_x=3x^2-3ay[/math]
[math]f'_y=3y^2-3ax[/math]

Приравниваю их нулю:
[math]3x^2-3ay=0[/math]
[math]3y^2-3ax=0[/math]

Домножаю на [math]a^2[/math]:
[math]3a^2x^2-3a^3y=0[/math]
[math]3a^2y^2-3a^3x=0[/math]

Выражаю из первого уравнения [math]y[/math] и подставляю во второе:
[math]3a^2x^2-3a^3y=0 => y=x^2/a[/math]
[math]3a^2(x^2/a)^2-3a^3x=0; => 3x^4-3a^3x=0; => x(x^3-a^3)=0; =>[/math]
[math]x=0[/math], т. е. [math]x_1=0[/math]
[math]x^3-a^3=0; => x^3=a^3[/math], т.е. [math]x_2=a[/math]

Нахожу [math]y_1[/math] и [math]y_2[/math]:
[math]y_1=0/a=0[/math]
[math]y_2=a^2/a=a[/math]

Найдены 2 точки:
1) [math](0;0)[/math]
2) [math](a;a)[/math]

Нахожу частные производные второго порядка:
[math]f''_{xx}=6x[/math]
[math]f''_{yy}=6y[/math]
[math]f''_{xy}=-3a[/math]

Нахожу значение [math]AC-B^2[/math] в точке 1):
[math]AC-B^2=6x*6y-(-3a)^2=0-9a^2=-9a^2[/math]

Нахожу значение [math]AC-B^2[/math] в точке 2):
[math]AC-B^2=6x*6y-(-3a)^2=36a^2-9a^2=27a^2[/math]

В точке 1) если [math]a>0[/math] или [math]a<0[/math] [math]AC-B^2<0[/math] => [math](0;0)[/math] - точка максимума.
В точке 2) если [math]a>0[/math] или [math]a<0[/math] [math]AC-B^2>0[/math] => [math](a;a)[/math] - точка минимума.

Помогите, пожалуйста, рассмотреть случаи, если [math]a=0[/math] и:
1. в точке 1) значение [math]AC-B^2=0[/math]
2. в точке 2) значение [math]AC-B^2=0[/math]
Просто я не понимаю, в чем заключается дополнительное исследование.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на экстремум функцию
СообщениеДобавлено: 14 окт 2010, 21:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18633
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11180
Спасибо получено:
5067 раз в 4578 сообщениях
Очков репутации: 686

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
при [math]a=0[/math] функция будет иметь вид [math]f(x,y)=x^3+y^3+1[/math], стационарная точка [math](0;0)[/math], вот из Выготского пример исследования поведения функции вблизи стационарной точки:

Изображение

если вблизи стационарной точки функция сохраняет положительный знак, то в стационарной точке минимум, если отрицательный, то - максимум, если знак не сохраняется, то экстремума нет (у вас по-моему третий случай).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
mds
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на экстремум функцию
СообщениеДобавлено: 16 окт 2010, 17:06 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
05 апр 2010, 17:56
Сообщений: 93
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо за помощь :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных
СообщениеДобавлено: 16 окт 2010, 18:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18633
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11180
Спасибо получено:
5067 раз в 4578 сообщениях
Очков репутации: 686

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
всегда пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных
СообщениеДобавлено: 23 янв 2018, 14:01 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
07 дек 2017, 14:43
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача аналогичная. Найти экстремумы функции.
z=6*x*y^2-12*x^2*y-y^2+54*x+48*y+1.

Дошел до уравнения. Кто-то знает как его решить (похоже на опечатку в условии):

9y^4-8y^3+246*y^2-243=0.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных
СообщениеДобавлено: 23 янв 2018, 20:15 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
07 дек 2017, 14:43
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ни у кого нет мыслей?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать на экстремум функцию двух переменных

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Yurievna

2

64

17 май 2018, 12:35

Исследовать на экстремум функцию двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

vice4

24

405

27 янв 2018, 13:02

Исследовать функцию двух переменных на экстремум

в форуме Дифференциальное исчисление

Mari89

4

208

05 окт 2015, 19:46

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

God_mode_2016

11

174

25 апр 2018, 16:21

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

vertigo

2

362

31 май 2012, 02:09

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

ExtreMaLLlka

10

81

23 май 2018, 10:17

Найти экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

serebro

1

441

27 янв 2013, 21:02

Найдите экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

serebro

4

309

27 янв 2013, 02:53

Условный экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Fixed_up

3

167

17 дек 2016, 20:02

Экстремум функции двух переменных.Запуталась

в форуме Дифференциальное исчисление

lisica198808

4

264

10 фев 2014, 22:50


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved