Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 15 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Booker48 |
|
|
|
Простосторонние - это треугольники, длины всех сторон которых выражаются простым числом. Сократим их до ПрТр, чтобы отличать от пифагоровых троек. Итак, что касается топика. Побочным продуктом изучения стал новый (для меня) способ получения угла 120 градусов. Берём ПрТр с длинами сторон (3, 5, 7) - и вуаля! - тупой угол равен в точности [math]\frac{ 2 }{ 3 } \pi[/math]. Понятно, что способов много, есть и более технически простые. Но забавно, насколько это похоже на построение египетского прямоугольного треугольника, только к 3 прибавляется не по 1, а по 2. Поскольку среди ПрТр подобных нет, то я почти уверен был, что и равные углы в них не обнаружить. Однако, ПрТр (3, 29, 31) и (11, 29, 37) вполне имеют равные углы, причём расположенные напротив наибольшей из сторон. По теореме косинусов: [math]\frac{ 3^2+29^2-31^2 }{ 2 \cdot 3 \cdot 29}=-\frac{ 111 }{ 174 } =- \frac{ 37 }{ 58 }[/math] и [math]\frac{ 11^2+29^2-37^2 }{ 2 \cdot 11 \cdot 29 } =-\frac{ 407 }{ 638 } = - \frac{ 37 }{ 58 }[/math] Как по мне - прикольно. Это, кстати, два наименьших ПрТр (с минимальной наибольшей стороной), имеющие равный угол. Попробовал поискать, нет ли среди ПрТр кратных углов, благо [math]\cos{nx}[/math] это многочлен от [math]\cos{x}[/math], но для [math]=2,3,4,5[/math] не нашёл (искал в первой тысяче, там наибольшая сторона ПрТр не превосходит 103). Среди первых примерно 5000 ПрТр (сторона не превосходит 257) нашлось 15 пар ПрТр с равным углом (список под оффтопом). Обозначения такие: [math]a,b,c[/math] - стороны ПрТр в порядке возрастания, [math]A,B,C[/math] - углы, лежащие, напротив соответствующих сторон ([math]A[/math] напротив [math]a[/math] и т.д.) Попозже продолжу. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали: myaccount2, revos, tomtitsin |
||
| revos |
|
|
|
Очень интересно!
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Booker48 |
|
|
|
revos
Спасибо! Интересно, что в каждой такой паре ПрТр обязательно, кроме равного угла, находится и равная сторона (но ни разу не встретился случай, когда напротив равных сторон находятся и равные углы). Поскольку изначально стояла задача о вписывании некоего четырёхугольника в окружность, то, очевидно, надо искать ПрТр не с равными углами, а такими, которые в сумме дают [math]\pi[/math]. Оказалось, что таковые наличествуют. Например, компактная парочка (3, 11, 13) и (5, 13, 17) имеют такие вот косинусы углов B1 и C2: [math]\frac{ 3^2+13^2-11^2 }{ 2 \cdot 3 \cdot 13 }=\frac{ 57 }{ 78 } = \frac{ 19 }{ 26 }[/math] и [math]\frac{ 5^2+13^2-17^2 }{ 2 \cdot 5 \cdot 13 } = - \frac{ 95 }{ 130 }=-\frac{ 19 }{ 26 }[/math], то бишь в сумме углы дают вожделенный [math]\pi[/math]. И таких пар ПрТр даже больше, чем пар ПрТр с равными углами! На том же множестве из всех ПрТр со стороной, не превышающей 257 (таковых всего 9714) их 23 (против 15 вышеприведённых с равным углом). Более того, среди них есть пара, в которой по две(!) стороны совпадают: (13, 101, 107) и (101, 107, 113). Но сложить из них четырёхугольник, который можно вписать в окружность, не получается. Ни разу дополняющие друг друга до [math]\pi[/math] углы не оказались напротив равных сторон. При этом равные стороны в этих парах обязательно есть. Подозреваю, что существует несложное доказательство этого факта (несуществования четырёхугольника со сторонами и одной диагональю, длины которых суть разные простые числа), но мне оно не приснивается, в смысле, во сне не приходит. А наяву у меня не выходит каменный цветок. На своём музейном ноуте я перебрал все ПрТр до максимальной стороны 641 (это почти 99056 ПрТр), это уже около часа считалось, хотя я особо не оптимизировал код (на vba написанный), но понятно, что дальше смысла нет, пора думалку включать. ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали: myaccount2 |
||
| Avgust |
|
|
|
Вот построение треугольника:
https://www.wolframalpha.com/input?i=triangle+3%2C5%2C7 |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: myaccount2, Nataly-Mak |
||
| Nataly-Mak |
|
|
|
Avgust
Построение треугольника в Вольфрам Альфа по заданным сторонам очень хорошо! |
||
| Вернуться к началу | ||
| Booker48 |
|
|
|
Avgust
Я пробовал вольфрам, но там проблемы. На моём планшете выдаётся неполное изображение, длины некоторых сторон не попадают в окно картинки. Попытка же скачать рисунок не удаётся, сразу предлагают купить Pro-вариант программы. Мне это пока не надо, для начала хотелось бы понять, какого качества будет та картинка. Возможно, это только на андроиде, на ноуте с виндой я не пробовал. И, что окончательно тормознуло мои попытки использовать вольфрам - когда я попросил построить какой-то уж очень тупоугольный треугольник, вольфрам нарисовал остроугольный, но были указаны правильные длины сторон и была подпись, что изображение содержит искажения. Если найду этот пример, размещу здесь. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Booker48 |
|
|
|
Вот такой треугольник на планшете он просто отказывается рисовать.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
|
|
Очень странно! Но почему строит легко такое:
https://www.wolframalpha.com/input?i=tr ... 2C79%2C127 |
||
| Вернуться к началу | ||
| Booker48 |
|
|
|
Что-то строит, что-то не строит, что-то строит с искажениями.
Походу, надо геогебру осваивать. ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
|
|
Nataly-Mak
Пропадал в proza.ru Там писал тысячи статей. А сюда почти два года никак попасть не мог. |
||
| Вернуться к началу | ||
|
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 15 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Треугольники
в форуме Геометрия |
1 |
349 |
21 мар 2016, 10:55 |
|
| Треугольники | 1 |
493 |
20 авг 2015, 06:12 |
|
|
Треугольники
в форуме Геометрия |
4 |
235 |
14 окт 2022, 13:27 |
|
|
Треугольники
в форуме Геометрия |
1 |
452 |
12 окт 2015, 17:44 |
|
| Треугольники | 12 |
675 |
31 янв 2018, 00:32 |
|
|
Где равные треугольники?
в форуме Геометрия |
1 |
451 |
15 май 2016, 20:38 |
|
|
Подобны ли треугольники?
в форуме Геометрия |
24 |
1083 |
06 ноя 2016, 08:58 |
|
|
Задача на треугольники
в форуме Геометрия |
8 |
643 |
11 фев 2018, 19:02 |
|
|
Равные треугольники
в форуме Геометрия |
1 |
530 |
28 фев 2018, 04:20 |
|
|
Равные треугольники
в форуме Геометрия |
2 |
398 |
28 фев 2018, 04:39 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |