Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Простосторонние треугольники
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2024, 13:47 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5693
Cпасибо сказано: 436
Спасибо получено:
1117 раз в 1032 сообщениях
Очков репутации: 137

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вдохновился этой темой.
Простосторонние - это треугольники, длины всех сторон которых выражаются простым числом. Сократим их до ПрТр, чтобы отличать от пифагоровых троек.
С рисованием у меня плохо, поэтому сначала вопрос: не знает ли уважаемое сообщество какой-нибудь онлайновый сервис, в котором легко и просто рисуются треугольники, по трём сторонам? В геогебре, как мне показалось, все треугольники рисуются по координатам вершин, то бишь требуются вычисления, но может я не прав? Хотелось бы задать длины сторон и получить картинку с указанием масштаба. И чтобы картинку эту можно было сохранить и вставить куда попало.
Или всё это можно сделать в геогебре, просто нужно мануал почитать? )))

Итак, что касается топика.
Побочным продуктом изучения стал новый (для меня) способ получения угла 120 градусов. Берём ПрТр с длинами сторон (3, 5, 7) - и вуаля! - тупой угол равен в точности [math]\frac{ 2 }{ 3 } \pi[/math]. Понятно, что способов много, есть и более технически простые. Но забавно, насколько это похоже на построение египетского прямоугольного треугольника, только к 3 прибавляется не по 1, а по 2.
Поскольку среди ПрТр подобных нет, то я почти уверен был, что и равные углы в них не обнаружить.
Однако, ПрТр (3, 29, 31) и (11, 29, 37) вполне имеют равные углы, причём расположенные напротив наибольшей из сторон. По теореме косинусов:
[math]\frac{ 3^2+29^2-31^2 }{ 2 \cdot 3 \cdot 29}=-\frac{ 111 }{ 174 } =- \frac{ 37 }{ 58 }[/math] и [math]\frac{ 11^2+29^2-37^2 }{ 2 \cdot 11 \cdot 29 } =-\frac{ 407 }{ 638 } = - \frac{ 37 }{ 58 }[/math]
Как по мне - прикольно. Это, кстати, два наименьших ПрТр (с минимальной наибольшей стороной), имеющие равный угол.
Попробовал поискать, нет ли среди ПрТр кратных углов, благо [math]\cos{nx}[/math] это многочлен от [math]\cos{x}[/math], но для [math]=2,3,4,5[/math] не нашёл (искал в первой тысяче, там наибольшая сторона ПрТр не превосходит 103).

Среди первых примерно 5000 ПрТр (сторона не превосходит 257) нашлось 15 пар ПрТр с равным углом (список под оффтопом).
Обозначения такие: [math]a,b,c[/math] - стороны ПрТр в порядке возрастания, [math]A,B,C[/math] - углы, лежащие, напротив соответствующих сторон ([math]A[/math] напротив [math]a[/math] и т.д.)
a1 =  3 b1 =  137 c1 =  139
a2 =  19 b2 =  127 c2 =  139
B1=B2

a1 =  7 b1 =  193 c1 =  199
a2 =  31 b2 =  173 c2 =  199
B1=B2

a1 =  13 b1 =  191 c1 =  199
a2 =  61 b2 =  167 c2 =  199
B1=B2

a1 =  11 b1 =  97 c1 =  101
a2 =  101 b2 =  107 c2 =  113
B1=C2

a1 =  11 b1 =  163 c1 =  167
a2 =  167 b2 =  179 c2 =  191
B1=C2

a1 =  31 b1 =  89 c1 =  97
a2 =  97 b2 =  103 c2 =  109
B1=C2

a1 =  53 b1 =  151 c1 =  167
a2 =  167 b2 =  173 c2 =  179
B1=C2

a1 =  3 b1 =  29 c1 =  31
a2 =  11 b2 =  29 c2 =  37
C1=C2

a1 =  3 b1 =  101 c1 =  103
a2 =  101 b2 =  179 c2 =  257
C1=C2

a1 =  7 b1 =  19 c1 =  23
a2 =  19 b2 =  31 c2 =  43
C1=C2

a1 =  11 b1 =  107 c1 =  113
a2 =  107 b2 =  179 c2 =  251
C1=C2

a1 =  11 b1 =  163 c1 =  167
a2 =  59 b2 =  163 c2 =  191
C1=C2

a1 =  17 b1 =  101 c1 =  103
a2 =  101 b2 =  137 c2 =  173
C1=C2

a1 =  31 b1 =  79 c1 =  107
a2 =  79 b2 =  151 c2 =  223
C1=C2

a1 =  43 b1 =  127 c1 =  131
a2 =  127 b2 =  163 c2 =  199
C1=C2

Попозже продолжу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
myaccount2, revos, tomtitsin
 Заголовок сообщения: Re: Простосторонние треугольники
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2024, 14:09 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 ноя 2022, 00:00
Сообщений: 1487
Cпасибо сказано: 109
Спасибо получено:
484 раз в 458 сообщениях
Очков репутации: 83

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очень интересно!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Простосторонние треугольники
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2024, 16:53 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5693
Cпасибо сказано: 436
Спасибо получено:
1117 раз в 1032 сообщениях
Очков репутации: 137

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
revos
Спасибо!

Интересно, что в каждой такой паре ПрТр обязательно, кроме равного угла, находится и равная сторона (но ни разу не встретился случай, когда напротив равных сторон находятся и равные углы).

Поскольку изначально стояла задача о вписывании некоего четырёхугольника в окружность, то, очевидно, надо искать ПрТр не с равными углами, а такими, которые в сумме дают [math]\pi[/math].
Оказалось, что таковые наличествуют.
Например, компактная парочка (3, 11, 13) и (5, 13, 17) имеют такие вот косинусы углов B1 и C2:
[math]\frac{ 3^2+13^2-11^2 }{ 2 \cdot 3 \cdot 13 }=\frac{ 57 }{ 78 } = \frac{ 19 }{ 26 }[/math] и [math]\frac{ 5^2+13^2-17^2 }{ 2 \cdot 5 \cdot 13 } = - \frac{ 95 }{ 130 }=-\frac{ 19 }{ 26 }[/math], то бишь в сумме углы дают вожделенный [math]\pi[/math].
И таких пар ПрТр даже больше, чем пар ПрТр с равными углами! На том же множестве из всех ПрТр со стороной, не превышающей 257 (таковых всего 9714) их 23 (против 15 вышеприведённых с равным углом).
Более того, среди них есть пара, в которой по две(!) стороны совпадают: (13, 101, 107) и (101, 107, 113).

Но сложить из них четырёхугольник, который можно вписать в окружность, не получается. Ни разу дополняющие друг друга до [math]\pi[/math] углы не оказались напротив равных сторон. :shock:
При этом равные стороны в этих парах обязательно есть.
a1 = 79 b1 = 151 c1 = 223
a2 = 89 b2 = 223 c2 = 311
A1+C2=180
a1 = 3 b1 = 11 c1 = 13
a2 = 5 b2 = 13 c2 = 17
B1+C2=180
a1 = 3 b1 = 59 c1 = 61
a2 = 61 b2 = 109 c2 = 157
B1+C2=180
a1 = 3 b1 = 137 c1 = 139
a2 = 53 b2 = 139 c2 = 179
B1+C2=180
a1 = 5 b1 = 193 c1 = 197
a2 = 43 b2 = 197 c2 = 233
B1+C2=180
a1 = 7 b1 = 19 c1 = 23
a2 = 23 b2 = 41 c2 = 59
B1+C2=180
a1 = 7 b1 = 53 c1 = 59
a2 = 59 b2 = 113 c2 = 167
B1+C2=180
a1 = 7 b1 = 229 c1 = 233
a2 = 233 b2 = 401 c2 = 569
B1+C2=180
a1 = 11 b1 = 97 c1 = 101
a2 = 13 b2 = 101 c2 = 107
B1+C2=180
a1 = 11 b1 = 127 c1 = 137
a2 = 13 b2 = 137 c2 = 149
B1+C2=180
a1 = 11 b1 = 163 c1 = 167
a2 = 61 b2 = 167 c2 = 199
B1+C2=180
a1 = 11 b1 = 173 c1 = 179
a2 = 109 b2 = 179 c2 = 257
B1+C2=180
a1 = 13 b1 = 101 c1 = 107
a2 = 107 b2 = 179 c2 = 251
B1+C2=180
a1 = 17 b1 = 101 c1 = 103
a2 = 103 b2 = 151 c2 = 199
B1+C2=180
a1 = 17 b1 = 457 c1 = 461
a2 = 79 b2 = 461 c2 = 487
B1+C2=180
a1 = 19 b1 = 127 c1 = 139
a2 = 53 b2 = 139 c2 = 179
B1+C2=180
a1 = 23 b1 = 409 c1 = 419
a2 = 73 b2 = 419 c2 = 457
B1+C2=180
a1 = 23 b1 = 547 c1 = 557
a2 = 97 b2 = 557 c2 = 607
B1+C2=180
a1 = 29 b1 = 73 c1 = 101
a2 = 67 b2 = 101 c2 = 167
B1+C2=180
a1 = 29 b1 = 167 c1 = 181
a2 = 181 b2 = 307 c2 = 433
B1+C2=180
a1 = 29 b1 = 461 c1 = 467
a2 = 43 b2 = 467 c2 = 479
B1+C2=180
a1 = 31 b1 = 239 c1 = 257
a2 = 257 b2 = 449 c2 = 641
B1+C2=180
a1 = 37 b1 = 139 c1 = 157
a2 = 59 b2 = 157 c2 = 197
B1+C2=180
a1 = 43 b1 = 127 c1 = 131
a2 = 131 b2 = 197 c2 = 263
B1+C2=180
a1 = 47 b1 = 179 c1 = 197
a2 = 73 b2 = 197 c2 = 241
B1+C2=180
a1 = 53 b1 = 359 c1 = 383
a2 = 67 b2 = 383 c2 = 421
B1+C2=180
a1 = 59 b1 = 173 c1 = 181
a2 = 181 b2 = 277 c2 = 373
B1+C2=180
a1 = 67 b1 = 173 c1 = 229
a2 = 149 b2 = 229 c2 = 367
B1+C2=180
a1 = 73 b1 = 211 c1 = 227
a2 = 227 b2 = 359 c2 = 491
B1+C2=180
a1 = 79 b1 = 233 c1 = 241
a2 = 137 b2 = 241 c2 = 307
B1+C2=180
a1 = 89 b1 = 257 c1 = 277
a2 = 277 b2 = 439 c2 = 601
B1+C2=180
a1 = 107 b1 = 283 c1 = 359
a2 = 229 b2 = 359 c2 = 557
B1+C2=180
a1 = 107 b1 = 389 c1 = 467
a2 = 181 b2 = 467 c2 = 619
B1+C2=180
a1 = 113 b1 = 331 c1 = 347
a2 = 199 b2 = 347 c2 = 449
B1+C2=180
a1 = 137 b1 = 379 c1 = 443
a2 = 271 b2 = 443 c2 = 641
B1+C2=180
a1 = 151 b1 = 449 c1 = 457
a2 = 257 b2 = 457 c2 = 571
B1+C2=180
a1 = 11 b1 = 163 c1 = 167
a2 = 163 b2 = 181 c2 = 199
C1+C2=180
a1 = 13 b1 = 101 c1 = 107
a2 = 101 b2 = 107 c2 = 113
C1+C2=180
a1 = 19 b1 = 227 c1 = 229
a2 = 227 b2 = 293 c2 = 359
C1+C2=180
a1 = 23 b1 = 409 c1 = 419
a2 = 409 b2 = 433 c2 = 457
C1+C2=180
a1 = 23 b1 = 547 c1 = 557
a2 = 547 b2 = 577 c2 = 607
C1+C2=180
a1 = 31 b1 = 89 c1 = 97
a2 = 89 b2 = 113 c2 = 137
C1+C2=180
a1 = 37 b1 = 109 c1 = 113
a2 = 59 b2 = 109 c2 = 127
C1+C2=180
a1 = 59 b1 = 163 c1 = 191
a2 = 163 b2 = 181 c2 = 199
C1+C2=180
a1 = 61 b1 = 167 c1 = 199
a2 = 167 b2 = 179 c2 = 191
C1+C2=180
a1 = 71 b1 = 409 c1 = 443
a2 = 409 b2 = 433 c2 = 457
C1+C2=180
a1 = 73 b1 = 419 c1 = 457
a2 = 419 b2 = 431 c2 = 443
C1+C2=180
a1 = 79 b1 = 223 c1 = 251
a2 = 113 b2 = 223 c2 = 229
C1+C2=180
a1 = 89 b1 = 251 c1 = 283
a2 = 127 b2 = 251 c2 = 257
C1+C2=180
a1 = 109 b1 = 317 c1 = 337
a2 = 317 b2 = 419 c2 = 521
C1+C2=180
a1 = 113 b1 = 443 c1 = 461
a2 = 151 b2 = 443 c2 = 463
C1+C2=180
a1 = 127 b1 = 353 c1 = 409
a2 = 353 b2 = 401 c2 = 449
C1+C2=180
a1 = 157 b1 = 463 c1 = 479
a2 = 251 b2 = 463 c2 = 541
C1+C2=180
a1 = 113 b1 = 443 c1 = 461
a2 = 151 b2 = 443 c2 = 463
C1+C2=180
a1 = 127 b1 = 353 c1 = 409
a2 = 353 b2 = 401 c2 = 449
C1+C2=180
a1 = 157 b1 = 463 c1 = 479
a2 = 251 b2 = 463 c2 = 541
C1+C2=180

Подозреваю, что существует несложное доказательство этого факта (несуществования четырёхугольника со сторонами и одной диагональю, длины которых суть разные простые числа), но мне оно не приснивается, в смысле, во сне не приходит. А наяву у меня не выходит каменный цветок.

На своём музейном ноуте я перебрал все ПрТр до максимальной стороны 641 (это почти 99056 ПрТр), это уже около часа считалось, хотя я особо не оптимизировал код (на vba написанный), но понятно, что дальше смысла нет, пора думалку включать. :pardon:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
myaccount2
 Заголовок сообщения: Re: Простосторонние треугольники
СообщениеДобавлено: 01 дек 2024, 16:01 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13564
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот построение треугольника:
https://www.wolframalpha.com/input?i=triangle+3%2C5%2C7

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
myaccount2, Nataly-Mak
 Заголовок сообщения: Re: Простосторонние треугольники
СообщениеДобавлено: 01 дек 2024, 16:33 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7460
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 842
Спасибо получено:
645 раз в 565 сообщениях
Очков репутации: -228

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
рада вас видеть :)
Вы где пропадали?

Построение треугольника в Вольфрам Альфа по заданным сторонам очень хорошо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Простосторонние треугольники
СообщениеДобавлено: 01 дек 2024, 16:43 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5693
Cпасибо сказано: 436
Спасибо получено:
1117 раз в 1032 сообщениях
Очков репутации: 137

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
Я пробовал вольфрам, но там проблемы.
На моём планшете выдаётся неполное изображение, длины некоторых сторон не попадают в окно картинки.
Попытка же скачать рисунок не удаётся, сразу предлагают купить Pro-вариант программы. Мне это пока не надо, для начала хотелось бы понять, какого качества будет та картинка.
Возможно, это только на андроиде, на ноуте с виндой я не пробовал.
И, что окончательно тормознуло мои попытки использовать вольфрам - когда я попросил построить какой-то уж очень тупоугольный треугольник, вольфрам нарисовал остроугольный, но были указаны правильные длины сторон и была подпись, что изображение содержит искажения.
Если найду этот пример, размещу здесь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Простосторонние треугольники
СообщениеДобавлено: 01 дек 2024, 16:50 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5693
Cпасибо сказано: 436
Спасибо получено:
1117 раз в 1032 сообщениях
Очков репутации: 137

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот такой треугольник на планшете он просто отказывается рисовать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Простосторонние треугольники
СообщениеДобавлено: 01 дек 2024, 17:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13564
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очень странно! Но почему строит легко такое:
https://www.wolframalpha.com/input?i=tr ... 2C79%2C127

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Простосторонние треугольники
СообщениеДобавлено: 01 дек 2024, 17:11 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5693
Cпасибо сказано: 436
Спасибо получено:
1117 раз в 1032 сообщениях
Очков репутации: 137

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что-то строит, что-то не строит, что-то строит с искажениями.
Походу, надо геогебру осваивать. :cry:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Простосторонние треугольники
СообщениеДобавлено: 01 дек 2024, 17:13 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13564
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataly-Mak
Пропадал в proza.ru Там писал тысячи статей. А сюда почти два года никак попасть не мог.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Треугольники

в форуме Геометрия

Oksano4ka

1

349

21 мар 2016, 10:55

Треугольники

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

1

493

20 авг 2015, 06:12

Треугольники

в форуме Геометрия

Siarhei161279

4

235

14 окт 2022, 13:27

Треугольники

в форуме Геометрия

Olga1975

1

452

12 окт 2015, 17:44

Треугольники

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Change_Doge

12

675

31 янв 2018, 00:32

Где равные треугольники?

в форуме Геометрия

fondo

1

451

15 май 2016, 20:38

Подобны ли треугольники?

в форуме Геометрия

Avgust

24

1083

06 ноя 2016, 08:58

Задача на треугольники

в форуме Геометрия

dmitritch

8

643

11 фев 2018, 19:02

Равные треугольники

в форуме Геометрия

Dim212

1

530

28 фев 2018, 04:20

Равные треугольники

в форуме Геометрия

Dim212

2

398

28 фев 2018, 04:39


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved