Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнение из СЗ - Сканави(2006г)
СообщениеДобавлено: 02 апр 2021, 13:30 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 апр 2021, 13:05
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уравнение довольно таки простое, идет под номером 6.150 и в принципе для него даже не нужно проверять ответа, он очевиден.

[math]\frac{u^2}{2-u^2}+ \frac{u}{2-u}= 2[/math]

Если приглядется то можно составить очень простое ОДЗ из которого очень легко находится единственный правильный ответ в целых числах.

За n-ое колличество операций, можно свести к вот подобному виду: [math]3 u^2 - 2 u^3 + 3 u = 4[/math]
Вот только зная Сборник Задач по математике под редакцией М.И. Сканави, зачастую можно найти решения более красивые чем большое колличество весьма банальных алгебраических операций. В данном случае мне потребовалось 11 шагов. Может кто то из знающих может мне подсказать более элегантное решение или методологию, потому что в сборнике рядом есть аналогичная задача, под номером 6.146

[math]\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}=1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение из СЗ - Сканави(2006г)
СообщениеДобавлено: 02 апр 2021, 14:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 5959
Cпасибо сказано: 169
Спасибо получено:
2177 раз в 2014 сообщениях
Очков репутации: 314

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для второго уравнения симметрия сразу подсказывает ответ [math]x=0[/math], дальше легко устанавливаем, что исходное уравнение 3 степени (а не четвёртой, как могло показаться на первый взгляд) не имеет других корней, так как возникает квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
AGN, Soullink
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение из СЗ - Сканави(2006г)
СообщениеДобавлено: 03 апр 2021, 13:52 
В сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7667
Cпасибо сказано: 100
Спасибо получено:
1427 раз в 1345 сообщениях
Очков репутации: 206

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Soullink писал(а):
Если приглядется то можно составить очень простое ОДЗ из которого очень легко находится единственный правильный ответ в целых числах.

И каким образом очень легко находится из ОДЗ ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение из СЗ - Сканави(2006г)
СообщениеДобавлено: 08 апр 2021, 06:36 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 апр 2021, 08:35
Сообщений: 36
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Soullink писал(а):
...Может кто то из знающих может мне подсказать более элегантное решение или методологию, потому что в сборнике рядом есть аналогичная задача, под номером 6.146

[math]\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}=1[/math]

Первая мысль -- рассмотреть числитель и знаменатель отдельно. Графики у них в виде буквы W и отличаются _только_ сдвигом по оси x. Искать надо точки пересечения этих графиков. Но сколько раз они пересекутся? И где? Есть варианты. Но есть ещё и лень их анализировать.
Поэтому, решил без графиков, но при решении учтена "идентичность" числителя и знаменателя по чётным степеням.
ОДЗ: x [math]\ne[/math] -1,-2,-3,-4;
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 0
(x[math]^{2}[/math] + 3x +2)(x[math]^{2}[/math] + 7x +12) - (x[math]^{2}[/math] - 3x +2)(x[math]^{2}[/math] - 7x +12) = 0
Очевидно, что после раскрытия скобок чётные степени взаимноуничтожатся, а с нечётными степенями каждое слагаемое повторяется, поэтому сразу делим на 2 обе части. Пишем _только_ слагаемые с нечётными степенями.
3x[math]^{3}[/math] + 36x +7x[math]^{3}[/math] + 14x = 0
10x[math]^{3}[/math] + 50x = 0
x(x[math]^{2}[/math] +5) =0
Отсюда x = 0 (ОДЗ удовлетворяет, проверку проходит).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение из СЗ - Сканави(2006г)
СообщениеДобавлено: 08 апр 2021, 08:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 апр 2021, 08:35
Сообщений: 36
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Soullink писал(а):
Уравнение довольно таки простое, идет под номером 6.150 и в принципе для него даже не нужно проверять ответа, он очевиден.

[math]\frac{u^2}{2-u^2}+ \frac{u}{2-u}= 2[/math]

Если приглядется то можно составить очень простое ОДЗ из которого очень легко находится единственный правильный ответ в целых числах.

За n-ое колличество операций, можно свести к вот подобному виду: [math]3 u^2 - 2 u^3 + 3 u = 4[/math]

Если в первой дроби числитель и знаменатель поделить на [math]u^{2}[/math], а во второй -- на [math]u[/math], то станет "видно" корень [math]u = 1[/math] (при нём все дроби превращаются в единицы).
Значит, [math]3 u^2 - 2 u^3 + 3 u - 4[/math] делится на [math]u - 1[/math], вынесем его за скобки:
[math](u - 1)(-2u^{2} + u + 4) = 0[/math], отсюда
[math]u - 1 = 0[/math] или [math]-2u^{2} + u + 4 = 0[/math]
Из первого уравнения [math]u[/math][math]_{1}[/math] [math]= 1[/math],
из второго [math]u[/math][math]_{2,3}[/math] = [math]\frac{ 1 }{ 4 } (1[/math][math]\pm[/math] [math]\sqrt{33}[/math][math])[/math].
Все корни в ОДЗ входят (знаменатель не обнуляют).
Похоже на правду?)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю CAPATOB "Спасибо" сказали:
Soullink
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение из СЗ - Сканави(2006г)
СообщениеДобавлено: 08 апр 2021, 10:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 апр 2021, 08:35
Сообщений: 36
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Soullink писал(а):
...решение или методологию, потому что в сборнике рядом есть аналогичная задача...

Извините, но решив обе, не заметил, что задачи аналогичные).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение из СЗ - Сканави(2006г)
СообщениеДобавлено: 10 апр 2021, 16:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 апр 2021, 13:05
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
CAPATOB писал(а):
Soullink писал(а):
...решение или методологию, потому что в сборнике рядом есть аналогичная задача...

Извините, но решив обе, не заметил, что задачи аналогичные).


Оба симетричные и одинаково в принципе расписываются до многочленов. Помоему достаточно схожести.

CAPATOB писал(а):
из второго [math]u[/math][math]_{2,3}[/math] = [math]\frac{ 1 }{ 4 } (1[/math][math]\pm[/math] [math]\sqrt{33}[/math][math])[/math].
Все корни в ОДЗ входят (знаменатель не обнуляют).
Похоже на правду?)

В сборнике за 2006 нету ответов с мнимыми числами, но так то да, ответ правильный.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение из СЗ - Сканави(2006г)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2021, 05:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 апр 2021, 08:35
Сообщений: 36
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Soullink писал(а):
CAPATOB писал(а):
Soullink писал(а):
...решение или методологию, потому что в сборнике рядом есть аналогичная задача...

Извините, но решив обе, не заметил, что задачи аналогичные).


Оба симетричные и одинаково в принципе расписываются до многочленов. Помоему достаточно схожести.

CAPATOB писал(а):
из второго [math]u[/math][math]_{2,3}[/math] = [math]\frac{ 1 }{ 4 } (1[/math][math]\pm[/math] [math]\sqrt{33}[/math][math])[/math].
Все корни в ОДЗ входят (знаменатель не обнуляют).
Похоже на правду?)

В сборнике за 2006 нету ответов с мнимыми числами, но так то да, ответ правильный.

1) Все дробно-рациональные уравнения одинаково в принципе расписываются до многочленов. Но после получения многочленов в этих задачах при решении требуются совершенно разные практические навыки, я лишь это имел в виду.
2) Как связаны [math]u[/math][math]_{2,3}[/math] и отсутствие ответов с мнимыми числами?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача из Сканави

в форуме Алгебра

pacha

5

216

24 авг 2017, 16:22

Задача из Сканави

в форуме Алгебра

cruim

5

188

01 мар 2020, 13:41

Решебник Сканави

в форуме Тригонометрия

Anasteisha

8

2052

02 дек 2011, 19:34

Ошибся ли Сканави?

в форуме Алгебра

Orion

3

419

15 мар 2014, 20:40

Пример из Сканави

в форуме Алгебра

nepomnu

1

286

13 июл 2016, 15:53

Не могу решать примеры Сканави

в форуме Алгебра

Zondr88

11

447

19 янв 2020, 00:19

Упражнения из книги М.И.Сканави Элементарная математика

в форуме Алгебра

AlexNightingale

19

761

15 окт 2016, 08:44

Как решить уравнение данное уравнение методом Рунге-Кутта

в форуме Численные методы

Silas

2

816

06 дек 2012, 00:16

Уравнение гиперболы, зная фокус, уравнение директрисы,< асим

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Marlex12s1d

1

119

10 апр 2021, 12:44

Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Irina88

0

800

09 июн 2011, 02:49


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved