Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Олимпиадная задача 80-х годов
СообщениеДобавлено: 23 сен 2020, 02:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 фев 2020, 01:11
Сообщений: 37
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемые знатоки математики, подскажите как решают такую систему:
[math]\begin{array}{|l}x+xy+xyz=12\\
y+yz+yzx=21\\
z+zx+zxy=30\end{array}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная задача 80-х годов
СообщениеДобавлено: 23 сен 2020, 17:11 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сразу можно увидеть, что решений в целых числах нет, значит подбором заниматься бессмысленно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная задача 80-х годов
СообщениеДобавлено: 23 сен 2020, 18:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko писал(а):
Сразу можно увидеть, что решений в целых числах нет, значит подбором заниматься бессмысленно.

Сразу видно, что проходит (1; 1; 10).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
ivashenko
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная задача 80-х годов
СообщениеДобавлено: 23 сен 2020, 21:32 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 3268
Cпасибо сказано: 263
Спасибо получено:
417 раз в 407 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
WOLFRAM-ALPHA



Solve (x +x*y+x*y*z=12) and (y+y*z+x*y*z=21) and (z+x*z+x*y*z=30) for x, y, z

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная задача 80-х годов
СообщениеДобавлено: 23 сен 2020, 22:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно решать прямо в лоб методом исключения переменных. Сначала из третьего уравнения выражаем [math]z=\frac{ 1 }{ 1+x+xy }[/math], потом подставляем во второе уравнение и получаем [math]x=\frac{ 21-31y }{ y^2+10y-21 }[/math] (здесь тонкость - рационально можно выразить именно х, а не у!). Соответственно выражаем [math]z=-\frac{ y^2+10y-21 }{ y^2 }[/math], теперь осталось подставить эти х и z в первое уравнение, вышло уравнение третьей степени: [math]4y^3-53y^2+196y-147=0[/math] с корнями [math]y=1; \; -2; \; \frac{ 21 }{ 4 }[/math]. В итоге вышли следующие корни системы: [math](1;1;10), \; (-2;7;-2), \; \left( -\frac{ 12 }{ 5 };\frac{ 21 }{4 };-\frac{15 }{ 7 } \right)[/math].
Наверно должен быть другой более красивый способ решения!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
ivashenko, KOPMOPAH, sergebsl
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная задача 80-х годов
СообщениеДобавлено: 23 сен 2020, 22:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 фев 2020, 01:11
Сообщений: 37
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Можно решать прямо в лоб методом исключения переменных. ...
Наверно должен быть другой более красивый способ решения!

Полностью согласен!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная задача 80-х годов
СообщениеДобавлено: 24 сен 2020, 01:56 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 3268
Cпасибо сказано: 263
Спасибо получено:
417 раз в 407 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel

Мне тоже так кажется.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная задача 80-х годов
СообщениеДобавлено: 20 дек 2020, 11:56 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 окт 2020, 08:01
Сообщений: 151
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
107 раз в 77 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
KOPMOPAH писал(а):
Уважаемые знатоки математики, подскажите как решают такую систему:
x+xy+xyz=12
y+yz+yzx=21
z+zx+zxy=30

KOPMOPAH
В условии задачи больше ничего не сказано?
Можно решать более легким путем, например, если сказано, что xyz – целое число.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная задача 80-х годов
СообщениеДобавлено: 20 дек 2020, 18:05 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Два решения просто найти, если предположить следующие равенства:

1) x=y ---> [math]x=1 \,;\, y=1\,;\, z=10[/math]

2) x=z ---> [math]x=-2\,;\, y=7\, ;\, z=-2[/math]

Сложнее решать, когда переменные не совпадают.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Олимпиадная задача

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

ivan1212

3

859

10 окт 2016, 21:57

Олимпиадная задача

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

heirloom

7

852

02 ноя 2015, 23:00

Олимпиадная задача

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Fyodor272000

12

588

18 фев 2022, 16:36

Олимпиадная задача

в форуме Механика

wrobel

0

465

18 окт 2015, 12:51

Олимпиадная задача

в форуме Теория вероятностей

prostachok

1

231

29 янв 2021, 20:18

Олимпиадная задача

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Fyodor272000

1

292

11 мар 2022, 17:47

Олимпиадная задача

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Lehan330

4

371

29 янв 2021, 13:29

Олимпиадная задача

в форуме Алгебра

R_A_S

1

168

09 окт 2019, 18:21

Олимпиадная задача

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Timur45345374867

12

753

26 авг 2020, 20:04

Олимпиадная задача

в форуме Геометрия

balbes_228

3

284

13 ноя 2022, 14:59


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 50


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved