Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Квадратное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 20 фев 2020, 10:30 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1445
Cпасибо сказано: 383
Спасибо получено:
317 раз в 267 сообщениях
Очков репутации: 71

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
День добрый.
Эту несложную задачу я дал моим девятиклассникам. Из 17 человек решили только двое.
Итак, [math]a[/math] и [math]b[/math] - суть вещественные числа. Сумма [math]a+b[/math] - целое число.
Решить уравнение [math]a^2+b^2=2[/math], т.е найти все пары [math]a[/math] и [math]b[/math] и доказать, что других, кроме найденных нет.
Что скажете?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Квадратное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 20 фев 2020, 11:09 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1187
Cпасибо сказано: 93
Спасибо получено:
475 раз в 377 сообщениях
Очков репутации: 143

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gagarin писал(а):
Что скажете?
Грустно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Квадратное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 20 фев 2020, 11:57 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1445
Cпасибо сказано: 383
Спасибо получено:
317 раз в 267 сообщениях
Очков репутации: 71

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
Грустно.
Да это ясно. Сколько решений?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Квадратное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 20 фев 2020, 11:58 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 21:32
Сообщений: 936
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 53
Спасибо получено:
159 раз в 149 сообщениях
Очков репутации: 28

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]a=\frac{1}{2} \left(s-\sqrt{4-s^2}\right),\,b=\frac{1}{2} \left(s+\sqrt{4-s^2}\right)[/math],

[math]a=\frac{1}{2} \left(s+\sqrt{4-s^2}\right),\,b=\frac{1}{2} \left(s-\sqrt{4-s^2}\right)[/math],
где [math]s[/math] пробегает целые возможные значения [math]-2,-1,0,1,2[/math].
Некоторые повторяются, всего [math]8[/math] получается кажется.

Не могу сказать с уверенностью, что я решил бы ее в 9 классе. Да я и сейчас не уверен, что ничего не упустил :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Student Studentovich "Спасибо" сказали:
FEBUS, Gagarin
 Заголовок сообщения: Re: Квадратное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 20 фев 2020, 12:40 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 900
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
464 раз в 384 сообщениях
Очков репутации: 91

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вроде шесть решений (есть пары совпадающих):
[math]\pm 1[/math] ;
[math]\frac{1}{2} \pm\frac{ \sqrt{3} }{ 2 }[/math];
[math]\frac{\sqrt{3}}{2}\pm\frac{ 1 }{ 2 }[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Gagarin
 Заголовок сообщения: Re: Квадратное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 20 фев 2020, 12:50 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 21:32
Сообщений: 936
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 53
Спасибо получено:
159 раз в 149 сообщениях
Очков репутации: 28

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D
Всё таки заставили Вы меня подставить и проверить :)

[math]\begin{array}{cc}
a & b \\
-1 & -1 \\
-1 & 1 \\
1 & -1 \\
1 & 1 \\
-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \\
-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{array}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Student Studentovich "Спасибо" сказали:
Gagarin, Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Квадратное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 20 фев 2020, 12:55 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1074
Cпасибо сказано: 232
Спасибо получено:
284 раз в 230 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Student Studentovich писал(а):
Всё таки заставили Вы меня подставить и проверить

А [math]\; (1; -1)[/math] чем не устраивает?
Ах, все-таки устраивает.


Последний раз редактировалось FEBUS 20 фев 2020, 12:57, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю FEBUS "Спасибо" сказали:
Student Studentovich
 Заголовок сообщения: Re: Квадратное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 20 фев 2020, 12:56 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 21:32
Сообщений: 936
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 53
Спасибо получено:
159 раз в 149 сообщениях
Очков репутации: 28

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
FEBUS
Не успели :D1.
Сам искал 8-ой. Вроде 10-2=8

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Квадратное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 20 фев 2020, 13:12 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1445
Cпасибо сказано: 383
Спасибо получено:
317 раз в 267 сообщениях
Очков репутации: 71

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Student Studentovich, Li6-D
Всё правильно, 8 решений.
Только одно замечание.
Student Studentovich писал(а):
где [math]s[/math] пробегает целые возможные значения [math]-2,-1,0,1,2[/math]
Не стоит решать все эти 5 систем (как решали те двое девятиклассников). Из соображений симметрии достаточно решить только эти 3 системы:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& a+b=0 \\
& a^2+b^2=2
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& a+b=1 \\
& a^2+b^2=2
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& a+b=2 \\
& a^2+b^2=2
\end{aligned}\right.[/math]


из которых и следуют вышеуказанные 8 решений.
Всем спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Gagarin "Спасибо" сказали:
Student Studentovich
 Заголовок сообщения: Re: Квадратное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 20 фев 2020, 13:23 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 21:32
Сообщений: 936
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 53
Спасибо получено:
159 раз в 149 сообщениях
Очков репутации: 28

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gagarin
Я чуть по другому рассуждал И не решал этих систем.

Из [math]a^2+b^2=2 \Rightarrow ab=\frac{(a+b)^2-2}{2} \Rightarrow ab\in \mathbb{Q}[/math]
Таким образом, [math]a[/math] и [math]b[/math] выступают корнями квадратного уравнения с рациональными коэффициентами:
[math]x^2-s x+\frac{s^2 - 2}{2}=0[/math], где [math]s=a+b[/math].
Решая это уравнение и находим.


Последний раз редактировалось Student Studentovich 20 фев 2020, 14:00, всего редактировалось 3 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Student Studentovich "Спасибо" сказали:
FEBUS, Gagarin
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Уравнение с двумя неизвестными

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

albertg

1

380

10 фев 2013, 17:04

Уравнение с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

Worid

10

848

11 сен 2013, 16:07

Уравнение с двумя неизвестными

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

smirnov_andrey

2

270

30 ноя 2011, 20:02

Решить уравнение с двумя неизвестными (С1)

в форуме Алгебра

Alyonka_smile

4

635

28 сен 2012, 15:00

Решить уравнение с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

darky

3

372

06 окт 2013, 19:44

Показательное уравнение с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

Igor kupryniuk

13

235

03 фев 2020, 23:58

Диофантовое уравнение с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

AndreyStepanenko1234

4

227

23 ноя 2017, 10:00

Уравнение для задачи, с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

DimaK

15

293

11 июн 2019, 22:15

Алгебраическое уравнение с двумя неизвестными - Как решить?

в форуме Алгебра

vovans

22

700

26 окт 2011, 17:23

Диофантово уравнение второй степени с двумя неизвестными

в форуме Теория чисел

Wolfram3000

5

1876

20 ноя 2011, 21:50


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: liss29, Yandex [bot] и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved