Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Показательное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 03 фев 2020, 23:58 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 янв 2020, 15:47
Сообщений: 55
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: -4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть уравнение: [math]3^{m}[/math] [math]-2^{n}[/math] = 7. m и n [math]\in[/math] [math]\mathbb{N}[/math] .
Найти все пары m и n, и доказать, что больше нет. Я думаю, что т. к. функция [math]3^{m}[/math]
возрастающая, а функция [math]-2^{n}[/math] убывающая, то тут будет всего одна пара значений для m
и n, а именно 2 и 1 соответственно. Так ли это доказывается, или нужно по другому? Прошу поподробнее
объяснить, если можно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показательное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 04 фев 2020, 05:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12290
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1054
Спасибо получено:
3454 раз в 3033 сообщениях
Очков репутации: 653

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я обычно начинаю с построения таблицы:

Изображение

Потом рассуждаю. Слагаемые - показательные функции. Они монотонно либо убывают, либо возрастают при положительных степенях. Это не параболы и не эллипсы. Поэтому в таблице правее числа будут только возрастать, а ниже - только убывать. Единственная ячейка содержит нужное число 7. Потому и ответ только один.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показательное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 04 фев 2020, 09:01 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 4825
Cпасибо сказано: 143
Спасибо получено:
1688 раз в 1568 сообщениях
Очков репутации: 239

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Проверил с разными правыми частями с простыми числами, больше 3. После простого числа 23 решений с простыми числами до 101 нет совсем. До этого числа нет решений только у числа 13.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показательное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 04 фев 2020, 09:20 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 20116
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1601
Спасибо получено:
4273 раз в 3984 сообщениях
Очков репутации: 758

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Igor kupryniuk
Похожая задача была рассмотрена здесь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показательное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 04 фев 2020, 09:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12290
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1054
Спасибо получено:
3454 раз в 3033 сообщениях
Очков репутации: 653

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот эта похожая задача по моей таблице чётко решается одним взглядом, без выкладок на целую страницу. Потому что решается не вслепую.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показательное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 04 фев 2020, 19:05 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12290
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1054
Спасибо получено:
3454 раз в 3033 сообщениях
Очков репутации: 653

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Похожую задачу мне приходилось решать на институтской олимпиаде. Звучала она так:

[math]2^m-3^n = \,[/math] году гибели Че Гевары

Решил ее правильно, но хоть убейте, не помню как. Ведь никаких калькуляторов не было.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показательное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 04 фев 2020, 19:21 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 5289
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
1139 раз в 1038 сообщениях
Очков репутации: 232

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
Igor kupryniuk
Похожая задача была рассмотрена здесь.

Только вот в решении гигантский изъян

andrei писал(а):
Рассмотрим случай,когда m>2 и n>3 тогда
[math]3^{m}-2^{n}=9\cdot 3^{m-2}-2^{n}>8\cdot 3^{m-2}-2^{n}=8\cdot (3^{m-2}-2^{n-3})> 8[/math]


Последнее неравенство ниоткуда не следует.
Хотя задача несложная, да.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показательное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 04 фев 2020, 19:26 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 5289
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
1139 раз в 1038 сообщениях
Очков репутации: 232

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Потом рассуждаю. Слагаемые - показательные функции. Они монотонно либо убывают, либо возрастают при положительных степенях. Это не параболы и не эллипсы. Поэтому в таблице правее числа будут только возрастать, а ниже - только убывать. Единственная ячейка содержит нужное число 7. Потому и ответ только один.


В таблице кроме справа и снизу есть куча других мест. По диагонали, по ходу коня и т.д.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показательное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 05 фев 2020, 03:19 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12290
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1054
Спасибо получено:
3454 раз в 3033 сообщениях
Очков репутации: 653

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan Даже два решения встречаются крайне редко. Например:

[math]3^m-2^n=-13[/math]

[math]m=1\, ; \quad n=4[/math]

[math]m=5\, ; \quad n=8[/math]

Bообще - кто опровергнет мою теорему:

Существуют только три варианта дублирующих целочисленных решений

[math]3^1-2^1=3^2-2^3=1[/math]

[math]3^1-2^3=3^3-2^5=-5[/math]

[math]3^1-2^4=3^5-2^8=-13[/math]

???

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показательное уравнение с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 05 фев 2020, 19:52 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1187
Cпасибо сказано: 93
Спасибо получено:
475 раз в 377 сообщениях
Очков репутации: 143

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Рассмотрите данное уравнение сначала по модулю 4, потом по модулю 7. А лучше сразу по модулю 8.
Avgust писал(а):
Bообще - кто опровергнет мою теорему:
Оооочень странный вопрос, не думаете?

Теоремы доказываются. Опровергаются голословные утверждения, причем не всегда. Определитесь, в конце концов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 14 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Уравнение с двумя неизвестными

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

albertg

1

380

10 фев 2013, 17:04

Уравнение с двумя неизвестными

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

smirnov_andrey

2

269

30 ноя 2011, 20:02

Уравнение с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

Worid

10

848

11 сен 2013, 16:07

Решить уравнение с двумя неизвестными (С1)

в форуме Алгебра

Alyonka_smile

4

635

28 сен 2012, 15:00

Диофантовое уравнение с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

AndreyStepanenko1234

4

227

23 ноя 2017, 10:00

Квадратное уравнение с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

Gagarin

11

241

20 фев 2020, 10:30

Уравнение для задачи, с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

DimaK

15

293

11 июн 2019, 22:15

Решить уравнение с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

darky

3

372

06 окт 2013, 19:44

Алгебраическое уравнение с двумя неизвестными - Как решить?

в форуме Алгебра

vovans

22

700

26 окт 2011, 17:23

Докажите,что уравнение с двумя неизвестными не имеет решений

в форуме Алгебра

VikaDasha

1

317

06 сен 2013, 17:58


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: liss29 и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved