Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача с параметром - включаем или не включаем границы?
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=67245
Страница 1 из 1

Автор:  alekscooper [ 15 ноя 2019, 22:30 ]
Заголовок сообщения:  Задача с параметром - включаем или не включаем границы?

Здравствуйте,

дано: при каких [math]a[/math] корни уравнения
[math]\left(2-a\right)x^{2}-3ax+2a=0[/math]
больше [math]1\slash 2[/math] (формулировка задачи - дословная из книги).

Задачу я решил, но есть нюанс: в книге ответ выглядит как
[math]\left[ \frac{ 16 }{ 17 }; 2 \right)[/math]
Эти числа я получил, а вот границы интервала - не понимаю.

При [math]a=\frac{ 16 }{ 17 }[/math] у исходного уравнения есть единственный корень [math]4\slash 3[/math], который удовлетворяет условию. При [math]a=2[/math] есть тоже только один корень, который равен [math]2\slash 3[/math] и удовлетворяет условию.

Почему тогда одна граница интервала включается, а другая - нет?

Благодарю за любую помощь.

Автор:  michel [ 15 ноя 2019, 22:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача с параметром - включаем или не включаем границы?

По условию корни уравнения во множественном числе. При [math]a=\frac{ 16 }{ 17 }[/math] есть двойной (кратный) корень. Для другого значения параметра действительно только один корень. В разных учебниках по-разному считают в случае кратных корней - один или несколько. Из какого задачника взяли условие?

Автор:  Avgust [ 15 ноя 2019, 22:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача с параметром - включаем или не включаем границы?

Вот почему. Корни

[math]x_{1,2}=\frac{3a\pm\sqrt{17a-16}\, \sqrt{a}}{2(2-a)}[/math]

Знаменатель не должен быть равен нулю

Автор:  michel [ 15 ноя 2019, 23:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача с параметром - включаем или не включаем границы?

Для [math]a=2[/math] эта формула не может работать, потому что возникает линейное уравнение вместо квадратного. На самом деле исходное уравнение имеет корень при этом значении параметра, но уже по другой формуле.

Автор:  alekscooper [ 16 ноя 2019, 08:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача с параметром - включаем или не включаем границы?

michel писал(а):
Из какого задачника взяли условие?

В. С. Высоцкий. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. Москва, Научный мир, 2013 год.

michel писал(а):
В разных учебниках по-разному считают в случае кратных корней - один или несколько.

Хм, не знал, спасибо. То-то я смотрю, что при описании условий расположения корней относительно точки или интервала, автор везде пишет нестрогое неравенство [math]D \geqslant 0[/math]. Теперь понятно, почему: двойной корень он считает за два совпадающих корня.

Спасибо!

Автор:  searcher [ 16 ноя 2019, 13:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача с параметром - включаем или не включаем границы?

По ходу возник вопрос. Рассмотрим задачу: "Будут ли корни уравнения [math]x^2+1=0[/math] больше нуля?". Если перевести вопрос задачи на математический язык, то задача запишется так: "Будет ли выполняться для любого действительного корня [math]\overline{x}[/math] уравнения [math]x^2+1=0[/math] соотношение [math]\overline{x}>0[/math] ?" . И таки да - будет. Вопрос - прав ли я?
P.S. Хотя задачу можно перевести на математический язык и по другому: " "Будет ли выполняться для любого корня [math]\overline{x}[/math] уравнения [math]x^2+1=0[/math]: 1) [math]\overline{x}[/math] будет действительным числом; 2) [math]\overline{x}>0[/math] ?" . И таки нет - не будет.

Автор:  venjar [ 16 ноя 2019, 15:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача с параметром - включаем или не включаем границы?

Вообще-то, у математиков принято, что об элементах пустого множества истинно любое высказывание.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/