Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача с параметром - включаем или не включаем границы?
СообщениеДобавлено: 15 ноя 2019, 22:30 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 206
Спасибо получено:
12 раз в 12 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте,

дано: при каких [math]a[/math] корни уравнения
[math]\left(2-a\right)x^{2}-3ax+2a=0[/math]
больше [math]1\slash 2[/math] (формулировка задачи - дословная из книги).

Задачу я решил, но есть нюанс: в книге ответ выглядит как
[math]\left[ \frac{ 16 }{ 17 }; 2 \right)[/math]
Эти числа я получил, а вот границы интервала - не понимаю.

При [math]a=\frac{ 16 }{ 17 }[/math] у исходного уравнения есть единственный корень [math]4\slash 3[/math], который удовлетворяет условию. При [math]a=2[/math] есть тоже только один корень, который равен [math]2\slash 3[/math] и удовлетворяет условию.

Почему тогда одна граница интервала включается, а другая - нет?

Благодарю за любую помощь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром - включаем или не включаем границы?
СообщениеДобавлено: 15 ноя 2019, 22:53 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7828
Cпасибо сказано: 243
Спасибо получено:
2860 раз в 2640 сообщениях
Очков репутации: 501

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По условию корни уравнения во множественном числе. При [math]a=\frac{ 16 }{ 17 }[/math] есть двойной (кратный) корень. Для другого значения параметра действительно только один корень. В разных учебниках по-разному считают в случае кратных корней - один или несколько. Из какого задачника взяли условие?


Последний раз редактировалось michel 15 ноя 2019, 23:01, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
alekscooper
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром - включаем или не включаем границы?
СообщениеДобавлено: 15 ноя 2019, 22:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот почему. Корни

[math]x_{1,2}=\frac{3a\pm\sqrt{17a-16}\, \sqrt{a}}{2(2-a)}[/math]

Знаменатель не должен быть равен нулю

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром - включаем или не включаем границы?
СообщениеДобавлено: 15 ноя 2019, 23:05 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7828
Cпасибо сказано: 243
Спасибо получено:
2860 раз в 2640 сообщениях
Очков репутации: 501

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для [math]a=2[/math] эта формула не может работать, потому что возникает линейное уравнение вместо квадратного. На самом деле исходное уравнение имеет корень при этом значении параметра, но уже по другой формуле.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
alekscooper
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром - включаем или не включаем границы?
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2019, 08:49 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 206
Спасибо получено:
12 раз в 12 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Из какого задачника взяли условие?

В. С. Высоцкий. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. Москва, Научный мир, 2013 год.

michel писал(а):
В разных учебниках по-разному считают в случае кратных корней - один или несколько.

Хм, не знал, спасибо. То-то я смотрю, что при описании условий расположения корней относительно точки или интервала, автор везде пишет нестрогое неравенство [math]D \geqslant 0[/math]. Теперь понятно, почему: двойной корень он считает за два совпадающих корня.

Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром - включаем или не включаем границы?
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2019, 13:36 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9421
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
1732 раз в 1640 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По ходу возник вопрос. Рассмотрим задачу: "Будут ли корни уравнения [math]x^2+1=0[/math] больше нуля?". Если перевести вопрос задачи на математический язык, то задача запишется так: "Будет ли выполняться для любого действительного корня [math]\overline{x}[/math] уравнения [math]x^2+1=0[/math] соотношение [math]\overline{x}>0[/math] ?" . И таки да - будет. Вопрос - прав ли я?
P.S. Хотя задачу можно перевести на математический язык и по другому: " "Будет ли выполняться для любого корня [math]\overline{x}[/math] уравнения [math]x^2+1=0[/math]: 1) [math]\overline{x}[/math] будет действительным числом; 2) [math]\overline{x}>0[/math] ?" . И таки нет - не будет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром - включаем или не включаем границы?
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2019, 15:18 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3374
Cпасибо сказано: 577
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вообще-то, у математиков принято, что об элементах пустого множества истинно любое высказывание.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача с параметром

в форуме Алгебра

pewpimkin

17

520

06 авг 2024, 19:37

Задача с параметром 2

в форуме Алгебра

eva354235

4

244

23 фев 2022, 11:59

Задача с параметром

в форуме Алгебра

eva354235

2

256

23 фев 2022, 11:47

Задача с параметром

в форуме Алгебра

Pepega

2

206

26 янв 2022, 13:50

Задача с параметром

в форуме Алгебра

I_love_Math

5

464

11 янв 2018, 21:23

Задача с параметром

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Nas_tya+-

2

401

15 май 2015, 18:23

Задача с параметром

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

dserp18

3

402

26 окт 2016, 12:14

Задача с параметром

в форуме Тригонометрия

makaronik

3

324

28 ноя 2017, 19:28

Задача с параметром

в форуме Алгебра

Nikita_99

18

813

21 мар 2016, 13:44

Задача с параметром

в форуме Алгебра

Zueliren

9

621

03 май 2021, 15:32


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved