Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Как восстановить решение?
СообщениеДобавлено: 16 окт 2019, 18:08 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 286
Cпасибо сказано: 201
Спасибо получено:
11 раз в 11 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте,

Дано уравнение
[math]x^{4}-22x^{2}-5x+2=0[/math]


Я знаю, что это уравнение равносильно уравнению
[math]\left(x^{2}+5x+2\right)\left(x^{2}-5x+1\right)=0[/math]


Проблема в том, что я не могу понять, как прийти от исходного уравнения к этому.

1) Раскрыть скобки

[math]x^{4}-5x^{3}+x^{2}+5x^{3}-25x^{2}+5x+2x^{2}-10x+2=0[/math]


Не понимаю, как тут сгруппировать слагаемые так, чтобы получилось произведение двух двучленов с иррациональными корнями.

2) методом неопределённый коэффициентов получилась система, решение которой я тоже не могу вывести:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& d-a^2+b=-22 \\
& ad-ab=-5 \\
& bd=2
\end{aligned}\right.[/math]


То есть, возможно, его нужно угадывать, но я не уверен, что я угадал бы, если бы заранее не знал коэффициенты.

Как провести преобразования, чтобы получить исходное уравнение в виде произведения двух двучленов?

Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как восстановить решение?
СообщениеДобавлено: 16 окт 2019, 20:02 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 5795
Cпасибо сказано: 164
Спасибо получено:
2119 раз в 1961 сообщениях
Очков репутации: 302

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы слишком усложнили, хотя с первого взгляда ясно, что достаточно двух параметров: [math](x^2+px+1)(x^2+qx+2)[/math]. Так как кубическое слагаемое отсутствует, то [math]p+q=0[/math]... Фактически можно было ограничиться даже одним параметром!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как восстановить решение?
СообщениеДобавлено: 16 окт 2019, 20:08 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 286
Cпасибо сказано: 201
Спасибо получено:
11 раз в 11 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Вы слишком усложнили, хотя с первого взгляда ясно, что достаточно двух параметров: [math](x^2+px+1)(x^2+qx+2)[/math]. Так как кубическое слагаемое отсутствует, то [math]p+q=0[/math]... Фактически можно было ограничиться даже одним параметром!


То, что [math]p+q=0[/math], я догадался. А вот с +1 и +2 у меня вопрос. Как мы можем заранее знать, что свободный член (в нашем случае 2) будет получен как произведение целого на целое? Вы как бы "назначили" свободные коэффициенты в двучленах в скобках. Как так можно? :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как восстановить решение?
СообщениеДобавлено: 16 окт 2019, 20:13 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 5795
Cпасибо сказано: 164
Спасибо получено:
2119 раз в 1961 сообщениях
Очков репутации: 302

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У нас только две возможности [math](x^2+px+1)(x^2+qx+2)[/math] и [math](x^2+px-1)(x^2+qx-2)[/math] для произведения целых трехчленов, других нет. Вас смущают два случая, которые надо перебирать?
Не сразу обратил внимание на вопрос, почему были уверены, что можно было взять свободное слагаемое как произведение целых чисел? На самом деле, это счастливый случай, когда многочлен удается разложить на произведение целых многочленов. Это имеет место только в счастливых случаях!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
alekscooper
 Заголовок сообщения: Re: Как восстановить решение?
СообщениеДобавлено: 16 окт 2019, 20:37 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 286
Cпасибо сказано: 201
Спасибо получено:
11 раз в 11 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Вас смущают два случая, которые надо перебирать?


Нет. Я, похоже, не могу пока осмыслить два момента:

1) Верно ли, что если у нас есть многочлен 4-ой степени только с целыми коэффициентами, значит, его можно разложить на произведение двух двучленов, у которых тоже только целые коэффициенты?

2) Верно ли, что такое разложение всегда существует?

Благодарю за помощь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как восстановить решение?
СообщениеДобавлено: 16 окт 2019, 20:50 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 5795
Cпасибо сказано: 164
Спасибо получено:
2119 раз в 1961 сообщениях
Очков репутации: 302

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Похоже, что Вы не поняли, что такие разложения многочленов на произведение многочленов с целыми коэффициентами являются "счастливыми" случаями. Поэтому ответы на оба вопроса - отрицательные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
alekscooper
 Заголовок сообщения: Re: Как восстановить решение?
СообщениеДобавлено: 16 окт 2019, 21:07 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 286
Cпасибо сказано: 201
Спасибо получено:
11 раз в 11 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Похоже, что Вы не поняли, что такие разложения многочленов на произведение многочленов с целыми коэффициентами являются "счастливыми" случаями. Поэтому ответы на оба вопроса - отрицательные.


Я Ваш комментарий тоже не сразу увидел. Теперь всё понятно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Восстановить равенство

в форуме Алгебра

nastya_grigorenko

3

715

07 сен 2013, 15:45

Восстановить функцию

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Ryslannn

1

343

22 мар 2014, 13:52

Восстановить аналитическую функцию

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Diana_99

1

122

07 ноя 2019, 09:19

Восстановить аналитическую функцию f(z)

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

sfanter

1

448

29 май 2016, 12:29

Восстановить аналитическую функцию

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

hummel

4

461

20 фев 2012, 19:33

Восстановить аналитическую функцию

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

gigsKA

26

4690

25 мар 2013, 15:57

Как восстановить середину шестиугольника

в форуме Геометрия

NakaNaka

1

259

28 авг 2013, 10:13

Восстановить оригинал по изображению F p

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

SPAC_E

0

62

22 окт 2019, 15:38

Восстановить аналитическую функцию

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Sasha95

1

415

09 ноя 2013, 14:27

Восстановить аналитическую функцию

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

MrBagz

0

32

30 окт 2020, 13:14


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved