Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Возрастающие степени в произведение
СообщениеДобавлено: 28 авг 2019, 13:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 авг 2019, 17:35
Сообщений: 35
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть выражение:

[math]a^n+a^{n-1}+...+a^1+a^0[/math]

Для а=2 выражение преобразуется в [math]a^{n+1}-1[/math], а как преобразовать для других степеней?

Немного похожее выражение:

[math]1+2^n+3^n+...+m^n[/math]

Оно преобразуется в произведение m+1 на дополнительные множители, зависящие от n. Может и для первой суммы с возрастающей степенью есть похожее преобразование?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возрастающие степени в произведение
СообщениеДобавлено: 28 авг 2019, 13:14 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
math_user
math_user писал(а):
Есть выражение:

[math]a^n+a^{n-1}+...+a^1+a^0[/math]

Для а=2 выражение преобразуется в [math]a^{n+1}-1[/math], а как преобразовать для других степеней?

Немного похожее выражение:

[math]1+2^n+3^n+...+m^n[/math]

Оно преобразуется в произведение m+1 на дополнительные множители, зависящие от n. Может и для первой суммы с возрастающей степенью есть похожее преобразование?

Как Вы получили указанное Вами выражение для [math]a=2[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
math_user
 Заголовок сообщения: Re: Возрастающие степени в произведение
СообщениеДобавлено: 28 авг 2019, 13:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В общем случае такой формулы не существует уже для случая [math]n=2[/math]: [math]a^2+a+1[/math] нельзя разложить на целые множители.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возрастающие степени в произведение
СообщениеДобавлено: 28 авг 2019, 14:05 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
math_user писал(а):
Есть выражение:

[math]a^n+a^{n-1}+...+a^1+a^0[/math]

Для а=2 выражение преобразуется в [math]a^{n+1}-1[/math], а как преобразовать для других степеней?


Для каких других степеней? И какие степени не другие?
math_user писал(а):
Есть выражение:

[math]a^n+a^{n-1}+...+a^1+a^0[/math]

Для а=2 выражение преобразуется в [math]a^{n+1}-1[/math],


Для любых степеней проходит.
Но мне кажется, вы хотели спросить что-то другое.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возрастающие степени в произведение
СообщениеДобавлено: 28 авг 2019, 14:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 авг 2019, 17:35
Сообщений: 35
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
Как Вы получили указанное Вами выражение для [math]a=2[/math]?

В двоичной системе 1111...1111+1=1000...0000. Число нулей справа равно числу единиц слева. Плюс известная задача о сумме постоянно уменьшающихся в два раза составляющих, дающих в результате двойной первый аргумент (что то эквивалентно двоичной системе, но выражено по другому).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возрастающие степени в произведение
СообщениеДобавлено: 28 авг 2019, 14:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 авг 2019, 17:35
Сообщений: 35
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
В общем случае такой формулы не существует уже для случая [math]n=2[/math]: [math]a^2+a+1[/math] нельзя разложить на целые множители.

А в частных случаях? То есть в сумме возрастающих оснований в одинаковой степени тоже общее решение выглядит специфически, но частные решения содержат [math](n+1)[/math] в качестве множителя.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возрастающие степени в произведение
СообщениеДобавлено: 28 авг 2019, 14:17 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 авг 2019, 17:35
Сообщений: 35
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Для каких других степеней? И какие степени не другие?

Да, перепутал, правильно - для других оснований (кроме двойки).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возрастающие степени в произведение
СообщениеДобавлено: 28 авг 2019, 14:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 авг 2019, 17:35
Сообщений: 35
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хотя дошло (спасибо Andy) - аналогично двоичной системе можно прибавлять единицу, но вместе с самой последовательностью, умноженной на основание системы счисления минус один.

[math]a^n+a^{n-1}+...+a^1+a^0 = (a-1)^{-1}*(a^{n+1}-1)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возрастающие степени в произведение
СообщениеДобавлено: 28 авг 2019, 14:32 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
math_user
Понятно. Действительно, если [math]a=2,[/math] то
при [math]n=1[/math] имеем [math]2^1+2^0=2+1=3[/math] и [math]2^2-1=3;[/math]
при [math]n=2[/math] имеем [math]2^2+2^1+2^0=4+2+1=7[/math] и [math]2^3-1=7;[/math]
наверное, воспользовавшись методом математической индукции Вы сумеете доказать правильность тождества для [math]a=2[/math] при любых натуральных [math]n.[/math] Не пробовали?

А выполняется ли это тождество, например, при других значениях [math]a,[/math] по-Вашему?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возрастающие степени в произведение
СообщениеДобавлено: 28 авг 2019, 16:37 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 авг 2019, 17:35
Сообщений: 35
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
А выполняется ли это тождество, например, при других значениях [math]a,[/math] по-Вашему?

Возможно вы отправили своё сообщение не увидев моего последнего, в котором есть общая формула. Она выполняется. В любой системе счисления для превращения всех разрядов в ноль нужно получить старший допустимый символ в каждом разряде, что делается умножением последовательности из первого сообщения на n-1, где n - основание системы счисления, а затем прибавляем единицу к готовой к превращению последовательности. Так сказать - готовим фазовый переход и добавляем каплю энергии, получаем резкую смену состояния всей системы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить векторное произведение и скалярное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

GRAND799

8

957

28 янв 2016, 14:46

Найти остаток от деления числа в степени в степени

в форуме Теория чисел

hejihe4135

7

1586

03 мар 2020, 16:51

Как из степени (-1/у) перейти к степени (1-у)/у

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

afraumar

2

436

13 фев 2015, 10:45

Найдите произведение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

belke

1

89

02 ноя 2021, 20:02

Найдите произведение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

belke

1

66

02 ноя 2021, 20:03

Скалярное произведение

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

BabyRooJr

3

312

30 апр 2019, 14:17

Скалярно произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Kriteriy Silvestra

1

140

15 дек 2020, 18:44

Скалярное произведение

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Susanna Gaybaryan

5

228

02 май 2020, 14:03

Произведение разбиений

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

modem

1

683

05 май 2014, 11:41

Векторное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

maximBELENKO

3

256

24 янв 2022, 22:38


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 36


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved