Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| kyper5 |
|
|
|
Найдите наименьшее натуральное значение параметра а, при котором неравенство 3[math]^{3a + x}[/math] [math]+ 3^{3a - x}[/math] [math]+ 3^{2a + 2x}[/math] [math]+ 3^{2a - 2x}[/math] [math]\leqslant 170 \times 3^{2a}[/math] не имеет решения |
||
| Вернуться к началу | ||
| kyper5 |
|
|
|
До чего дошел сам:
3[math]^{2a}[/math][math]\left( 3^{a + x} + 3^{a - x} + 3^{2x} + 3^{-2x} \right)[/math] [math]\leqslant 170 \times 3^{2a}[/math] 3[math]^{a+x}[/math] [math]+ 3^{a-x}[/math] [math]+ 3^{2x}[/math] [math]+ 3^{-2x}[/math] [math]\leqslant 170[/math] 3[math]^{a}[/math][math]\left( 3^{x} + 3^{-x} \right)[/math] [math]+ 3^{2x} + 2 + 3^{-2x} - 172[/math] [math]\leqslant 0[/math] 3[math]^{a}[/math][math]\left( 3^{x} + 3^{-x} \right)[/math] [math]+ \left( 3^{x} + 3^{-x} \right)^{2}[/math] [math]- 172[/math] [math]\leqslant 0[/math] 3[math]^{x}[/math] [math]+ 3^{-x}[/math] [math]= y[/math] y [math]> 0[/math] 3[math]^{a}[/math] [math]> 0[/math] y[math]^{2}[/math] [math]+ 3^{a}y[/math] [math]- 172[/math] [math]\leqslant 0[/math] D [math]= 3^{2a}[/math] [math]+ 688[/math] 3[math]^{a}[/math] [math]> 0[/math] , значит 3[math]^{2a}[/math] [math]> 0[/math] , значит решения неравенства есть так как D [math]> 0[/math] y[math]_{1}[/math] [math]\equiv - \frac{ 3^{a} + \sqrt{3^{2a} + 688 } }{ b }[/math] так как y [math]> 0[/math] корень не подходит y[math]_{2}[/math] [math]= \frac{ \sqrt{3^{2a} + 688 } - 3^{a} }{ 2 }[/math] [math]\sqrt{3^{2a} + 688 }[/math] [math]- 3^{a}[/math] [math]>0[/math] при любых a То есть по сути неравенство имеет решение при любых возможных a Где-то я ошибся, понять не могу где( |
||
| Вернуться к началу | ||
| michel |
|
|
|
Вы ещё не учли, что переменная [math]y \geqslant 2[/math].
Достаточно найти такие значения параметра [math]a[/math], для которых решения квадратного неравенства для [math]y[/math] будут меньше двух. У меня вышло [math]a>log_3 84[/math], т.е. наименьшее целое значение [math]a=5[/math]. Последний раз редактировалось michel 05 июл 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: kyper5 |
||
| kyper5 |
|
|
|
А почему y [math]\geqslant 2[/math] ?
|
||
| Вернуться к началу | ||
| michel |
|
|
|
Потому что [math]3^x+3^{-x} \geqslant 2[/math] - неравенство Коши.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: kyper5 |
||
| kyper5 |
|
|
|
Спасибо большое понял, про Коши я забыл)
|
||
| Вернуться к началу | ||
| kyper5 |
|
|
|
Проверил ответ будет 5. Если вдруг кому понадобится допишу решение:
[math]\frac{ 3^{x} + 3^{-x} }{ 2 }[/math] [math]\geqslant \sqrt{3^{x} \times 3^{-x} }[/math] [math]= \sqrt{1}[/math] [math]= 1[/math] (по правилу Коши) 3[math]^{x}[/math] [math]+ 3^{-x}[/math] [math]\geqslant 2[/math] y [math]\geqslant 2[/math] [math]\frac{ \sqrt{3^{2a} + 688 } - 3^{a} }{ 2 }[/math] [math]\geqslant 2[/math] [math]\sqrt{3^{2a} + 688}[/math] [math]- 3^{a}[/math] [math]\geqslant 4[/math] [math]\sqrt{3^{2a} + 688 }[/math] [math]\geqslant 4 - 3^{a}[/math] [math]\sqrt{3^{2a} + 688 }[/math] [math]\geqslant \sqrt{\left( 4 - 3^{a} \right)^{2} }[/math] 3[math]^{2a}[/math] [math]+ 688[/math] [math]\geqslant 16 - 8 \times 3^{a} + 3^{2a}[/math] 3[math]^{2a}[/math]-3[math]^{2a}[/math] [math]- 8 \times 3^{a}[/math] [math]\geqslant 16 - 688[/math] -8 [math]\times 3^{a}[/math] [math]\geqslant -672[/math] 3[math]^{a}[/math] [math]\leqslant 84[/math] a [math]\leqslant \log_{3}{84}[/math] [math]\approx 4.033[/math] Значит у неравенства есть решения при любых a меньших 4.033, то есть наименьшее натуральное число, при котором неравенство не имеет решений равно 5. При 5 не равенство не решаемо, а при 4 решаемо, проверим: возьмем x [math]= 0[/math] , a [math]= 4[/math] 3[math]^{12}[/math] [math]+ 3^{12}[/math] [math]+ 3^{8}[/math] [math]+ 3^{8}[/math] [math]\leqslant 170 \times 3^{8}[/math] 1076004 [math]\leqslant 1115370[/math] неравенство верно возьмем x [math]= 0[/math] , a [math]= 5[/math] 3[math]^{15}[/math] [math]+ 3^{15}[/math] [math]+ 3^{10}[/math] [math]+ 3^{10}[/math] [math]\leqslant 170 \times 3^{10}[/math] 28815912 [math]\leqslant 10038330[/math] неравенство неверно Ответ:5 Всем большое спасибо, тема закрыта! |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 7 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
| Неравенство | 4 |
621 |
02 авг 2015, 10:24 |
|
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
3 |
286 |
11 окт 2015, 21:21 |
|
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
4 |
173 |
25 окт 2018, 14:05 |
|
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
11 |
403 |
16 июл 2018, 12:09 |
|
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
10 |
466 |
14 июл 2018, 20:32 |
|
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
2 |
374 |
06 ноя 2015, 19:45 |
|
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
8 |
458 |
11 ноя 2015, 20:51 |
|
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
7 |
413 |
21 дек 2015, 19:56 |
|
|
Неравенство
в форуме Тригонометрия |
1 |
304 |
14 янв 2016, 17:22 |
|
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
1 |
332 |
18 янв 2016, 12:42 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |