Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Неравенство
СообщениеДобавлено: 05 июл 2019, 11:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 июл 2019, 11:33
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите, пожалуйста, решить!
Найдите наименьшее натуральное значение параметра а, при котором неравенство
3[math]^{3a + x}[/math] [math]+ 3^{3a - x}[/math] [math]+ 3^{2a + 2x}[/math] [math]+ 3^{2a - 2x}[/math] [math]\leqslant 170 \times 3^{2a}[/math] не имеет решения

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 05 июл 2019, 12:53 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 июл 2019, 11:33
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
До чего дошел сам:

3[math]^{2a}[/math][math]\left( 3^{a + x} + 3^{a - x} + 3^{2x} + 3^{-2x} \right)[/math] [math]\leqslant 170 \times 3^{2a}[/math]
3[math]^{a+x}[/math] [math]+ 3^{a-x}[/math] [math]+ 3^{2x}[/math] [math]+ 3^{-2x}[/math] [math]\leqslant 170[/math]
3[math]^{a}[/math][math]\left( 3^{x} + 3^{-x} \right)[/math] [math]+ 3^{2x} + 2 + 3^{-2x} - 172[/math] [math]\leqslant 0[/math]
3[math]^{a}[/math][math]\left( 3^{x} + 3^{-x} \right)[/math] [math]+ \left( 3^{x} + 3^{-x} \right)^{2}[/math] [math]- 172[/math] [math]\leqslant 0[/math]
3[math]^{x}[/math] [math]+ 3^{-x}[/math] [math]= y[/math]
y [math]> 0[/math]
3[math]^{a}[/math] [math]> 0[/math]
y[math]^{2}[/math] [math]+ 3^{a}y[/math] [math]- 172[/math] [math]\leqslant 0[/math]
D [math]= 3^{2a}[/math] [math]+ 688[/math]
3[math]^{a}[/math] [math]> 0[/math] , значит 3[math]^{2a}[/math] [math]> 0[/math] , значит решения неравенства есть так как D [math]> 0[/math]

y[math]_{1}[/math] [math]\equiv - \frac{ 3^{a} + \sqrt{3^{2a} + 688 } }{ b }[/math]
так как y [math]> 0[/math] корень не подходит

y[math]_{2}[/math] [math]= \frac{ \sqrt{3^{2a} + 688 } - 3^{a} }{ 2 }[/math]

[math]\sqrt{3^{2a} + 688 }[/math] [math]- 3^{a}[/math] [math]>0[/math] при любых a
То есть по сути неравенство имеет решение при любых возможных a
Где-то я ошибся, понять не могу где(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 05 июл 2019, 12:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7830
Cпасибо сказано: 243
Спасибо получено:
2861 раз в 2641 сообщениях
Очков репутации: 501

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы ещё не учли, что переменная [math]y \geqslant 2[/math].
Достаточно найти такие значения параметра [math]a[/math], для которых решения квадратного неравенства для [math]y[/math] будут меньше двух. У меня вышло [math]a>log_3 84[/math], т.е. наименьшее целое значение [math]a=5[/math].


Последний раз редактировалось michel 05 июл 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
kyper5
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 05 июл 2019, 13:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 июл 2019, 11:33
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А почему y [math]\geqslant 2[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 05 июл 2019, 13:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7830
Cпасибо сказано: 243
Спасибо получено:
2861 раз в 2641 сообщениях
Очков репутации: 501

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Потому что [math]3^x+3^{-x} \geqslant 2[/math] - неравенство Коши.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
kyper5
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 05 июл 2019, 14:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 июл 2019, 11:33
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое понял, про Коши я забыл)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 05 июл 2019, 16:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 июл 2019, 11:33
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Проверил ответ будет 5. Если вдруг кому понадобится допишу решение:
[math]\frac{ 3^{x} + 3^{-x} }{ 2 }[/math] [math]\geqslant \sqrt{3^{x} \times 3^{-x} }[/math] [math]= \sqrt{1}[/math]
[math]= 1[/math] (по правилу Коши)

3[math]^{x}[/math] [math]+ 3^{-x}[/math] [math]\geqslant 2[/math]
y [math]\geqslant 2[/math]

[math]\frac{ \sqrt{3^{2a} + 688 } - 3^{a} }{ 2 }[/math] [math]\geqslant 2[/math]

[math]\sqrt{3^{2a} + 688}[/math] [math]- 3^{a}[/math] [math]\geqslant 4[/math]
[math]\sqrt{3^{2a} + 688 }[/math] [math]\geqslant 4 - 3^{a}[/math]
[math]\sqrt{3^{2a} + 688 }[/math] [math]\geqslant \sqrt{\left( 4 - 3^{a} \right)^{2} }[/math]
3[math]^{2a}[/math] [math]+ 688[/math] [math]\geqslant 16 - 8 \times 3^{a} + 3^{2a}[/math]
3[math]^{2a}[/math]-3[math]^{2a}[/math] [math]- 8 \times 3^{a}[/math] [math]\geqslant 16 - 688[/math]
-8 [math]\times 3^{a}[/math] [math]\geqslant -672[/math]
3[math]^{a}[/math] [math]\leqslant 84[/math]
a [math]\leqslant \log_{3}{84}[/math] [math]\approx 4.033[/math]
Значит у неравенства есть решения при любых a меньших 4.033, то есть наименьшее натуральное число, при котором неравенство не имеет решений равно 5. При 5 не равенство не решаемо, а при 4 решаемо, проверим:
возьмем x [math]= 0[/math] , a [math]= 4[/math]
3[math]^{12}[/math] [math]+ 3^{12}[/math] [math]+ 3^{8}[/math] [math]+ 3^{8}[/math] [math]\leqslant 170 \times 3^{8}[/math]
1076004 [math]\leqslant 1115370[/math] неравенство верно
возьмем x [math]= 0[/math] , a [math]= 5[/math]
3[math]^{15}[/math] [math]+ 3^{15}[/math] [math]+ 3^{10}[/math] [math]+ 3^{10}[/math] [math]\leqslant 170 \times 3^{10}[/math]
28815912 [math]\leqslant 10038330[/math] неравенство неверно
Ответ:5
Всем большое спасибо, тема закрыта!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Неравенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

swan

4

621

02 авг 2015, 10:24

Неравенство

в форуме Алгебра

Kristinadefa

3

286

11 окт 2015, 21:21

Неравенство

в форуме Алгебра

tanyhaftv

4

173

25 окт 2018, 14:05

Неравенство

в форуме Алгебра

Ramdesu

11

403

16 июл 2018, 12:09

Неравенство

в форуме Алгебра

VladGreen

10

466

14 июл 2018, 20:32

Неравенство

в форуме Алгебра

alimira

2

374

06 ноя 2015, 19:45

Неравенство

в форуме Алгебра

vitgon

8

458

11 ноя 2015, 20:51

Неравенство

в форуме Алгебра

Maxim2705

7

413

21 дек 2015, 19:56

Неравенство

в форуме Тригонометрия

rook185

1

304

14 янв 2016, 17:22

Неравенство

в форуме Алгебра

vlad-optim

1

332

18 янв 2016, 12:42


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved