Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Как решается это диофантово уравнение?
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 00:12 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math](a^2+b^2)(b^2-16a^2)=c^2[/math]
Посоветуйте способ решения, затрудняюсь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как решается это диофантово уравнение?
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 18:40 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мможно доказать отсутсвие нетривиальны решений (кроме [math]a=0[/math] или [math]b=4a[/math]) методом спуска Ферма. Будем считать взаимнопростыми, конечно. Будем искать наименьшее [math]b[/math]. Там одни квадраты, параметрическое решение:

[math]b^2=16p^2+q^2 \quad (:17)[/math]
[math]a^2=p^2-q^2 \quad (:17)[/math]
[math]c=17pq \quad (:17)[/math]

Умножим вторую строчку на 16, перейдем к новой переменной [math]4p=r[/math], перемножим первые две строчки, получим уравнение

[math](4ab)^2=(r^2+q^2)(r^2-16q^2)[/math]

Такое же, как и исходное, да только [math]r<b[/math] - противоречие.

Случай с общим делителем 17 ничего особого не меняет.

Нет нетривиальных решений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
3axap
 Заголовок сообщения: Re: Как решается это диофантово уравнение?
СообщениеДобавлено: 23 июн 2019, 10:45 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
Случай с общим делителем 17 ничего особого не меняет.
На самом деле сильно меняет, потому что тогда

[math]b^2=\frac{r^2+q^2}{17}<r^2[/math]

и спуск не работает.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
3axap
 Заголовок сообщения: Re: Как решается это диофантово уравнение?
СообщениеДобавлено: 23 июн 2019, 20:43 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows
А почему не может быть так:

[math]b^2=16p^2+q[/math]

[math]a^2=p^2-q[/math]

[math]c^2=34p^2q[/math]

К примеру, при [math]q=9826[/math]: [math]c=578p[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как решается это диофантово уравнение?
СообщениеДобавлено: 23 июн 2019, 22:07 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нашёл ошибку у себя.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как решается это диофантово уравнение?
СообщениеДобавлено: 23 июн 2019, 22:20 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Имел в виду вот этот случай:

[math]b^2=16p^2-q[/math]

[math]a^2=p^2-q[/math]

[math]a^2+b^2=17p^2-2q[/math]

[math]b^2-16a^2=15q[/math]

[math]c^2=255p^2q-30q^2[/math]

Я хочу понять: тривиальных решений нет для найденной Вами параметрической формулы? Или нет вообще? Это очевидно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как решается это диофантово уравнение?
СообщениеДобавлено: 24 июн 2019, 09:23 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Произведение двух взаимнопростых чисел есть точный квадрат тогда и только тогда, когда оба числа - квадраты. В этом случае решается система:

[math]\begin{cases}b^2+a^2=p^2\\b^2-16a^2=q^2\end{cases}[/math]

Так как множители могут иметь общий делитель 17 (и только), то нужно рассмотреть еще одну систему:

[math]\begin{cases}b^2+a^2=17p^2\\b^2-16a^2=17q^2\end{cases}[/math]

Отсюда и "решения" такие - просто решения этих систем относительно [math]a^2,b^2[/math] (вы бы тоже справились). И всякие "а почем не [math]-q[/math] или [math]+50q^6[/math] неуместны.

С вторым случаем справились легко. С первым кстати тоже справился - там бесконечный спуск тоже работает, только подлиннее, не буду тут рассписывать, все равно ничего не поймете.

Гораздо проще проводится бесконечный спуск при доказательстве отсутсвия решений у уравнения [math]b^4-a^4=c^2[/math] тоесть [math](b^2+a^2)(b^2-a^2)=c^2[/math]. Чем то похожи, да? Но не совсем. Тут досаднее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
3axap
 Заголовок сообщения: Re: Как решается это диофантово уравнение?
СообщениеДобавлено: 24 июн 2019, 18:27 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теперь намного понятнее.
Shadows писал(а):
Так как множители могут иметь общий делитель 17 (и только), то нужно рассмотреть еще одну систему:

[math]\begin{cases}b^2+a^2=17p^2\\b^2-16a^2=17q^2\end{cases}[/math]

(вы бы тоже справились).

Я думаю, что нет. Решить систему могу, а с нахождением ОД у меня пока пробел...

Shadows писал(а):
С вторым случаем справились легко. С первым кстати тоже справился - там бесконечный спуск тоже работает, только подлиннее, не буду тут рассписывать, все равно ничего не поймете.

Ну почему же, может и понял бы...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Диофантово уравнение

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Nataly-Mak

584

12748

12 дек 2015, 00:03

Диофантово уравнение

в форуме Алгебра

Pavel_Kotoff

5

127

10 ноя 2023, 22:39

Диофантово уравнение

в форуме Алгебра

McMurphy

2

166

07 июн 2023, 14:41

Диофантово уравнение

в форуме Теория чисел

EvgeniyD

4

392

25 фев 2020, 11:11

Диофантово уравнение

в форуме Теория чисел

bravo

10

2814

17 июл 2014, 22:39

Уравнение диофантово

в форуме Теория чисел

3axap

23

823

17 июн 2021, 11:02

Как решается уравнение?

в форуме Алгебра

sfanter

4

487

05 сен 2015, 06:43

Как решается уравнение?

в форуме Тригонометрия

sfanter

3

545

05 мар 2016, 10:48

Квадратное диофантово уравнение

в форуме Теория чисел

Claudia

13

856

11 июн 2018, 11:01

Диофантово уравнение 2-й степени

в форуме Теория чисел

Gagarin

7

1038

12 янв 2017, 12:15


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 26


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved