Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
3axap |
|
|
Посоветуйте способ решения, затрудняюсь. |
||
Вернуться к началу | ||
Shadows |
|
|
Мможно доказать отсутсвие нетривиальны решений (кроме [math]a=0[/math] или [math]b=4a[/math]) методом спуска Ферма. Будем считать взаимнопростыми, конечно. Будем искать наименьшее [math]b[/math]. Там одни квадраты, параметрическое решение:
[math]b^2=16p^2+q^2 \quad (:17)[/math] [math]a^2=p^2-q^2 \quad (:17)[/math] [math]c=17pq \quad (:17)[/math] Умножим вторую строчку на 16, перейдем к новой переменной [math]4p=r[/math], перемножим первые две строчки, получим уравнение [math](4ab)^2=(r^2+q^2)(r^2-16q^2)[/math] Такое же, как и исходное, да только [math]r<b[/math] - противоречие. Случай с общим делителем 17 ничего особого не меняет. Нет нетривиальных решений. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали: 3axap |
||
Shadows |
|
|
Shadows писал(а): Случай с общим делителем 17 ничего особого не меняет. На самом деле сильно меняет, потому что тогда[math]b^2=\frac{r^2+q^2}{17}<r^2[/math] и спуск не работает. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали: 3axap |
||
3axap |
|
|
Shadows
А почему не может быть так: [math]b^2=16p^2+q[/math] [math]a^2=p^2-q[/math] [math]c^2=34p^2q[/math] К примеру, при [math]q=9826[/math]: [math]c=578p[/math] ? |
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
Нашёл ошибку у себя.
|
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
Имел в виду вот этот случай:
[math]b^2=16p^2-q[/math] [math]a^2=p^2-q[/math] [math]a^2+b^2=17p^2-2q[/math] [math]b^2-16a^2=15q[/math] [math]c^2=255p^2q-30q^2[/math] Я хочу понять: тривиальных решений нет для найденной Вами параметрической формулы? Или нет вообще? Это очевидно? |
||
Вернуться к началу | ||
Shadows |
|
|
Произведение двух взаимнопростых чисел есть точный квадрат тогда и только тогда, когда оба числа - квадраты. В этом случае решается система:
[math]\begin{cases}b^2+a^2=p^2\\b^2-16a^2=q^2\end{cases}[/math] Так как множители могут иметь общий делитель 17 (и только), то нужно рассмотреть еще одну систему: [math]\begin{cases}b^2+a^2=17p^2\\b^2-16a^2=17q^2\end{cases}[/math] Отсюда и "решения" такие - просто решения этих систем относительно [math]a^2,b^2[/math] (вы бы тоже справились). И всякие "а почем не [math]-q[/math] или [math]+50q^6[/math] неуместны. С вторым случаем справились легко. С первым кстати тоже справился - там бесконечный спуск тоже работает, только подлиннее, не буду тут рассписывать, все равно ничего не поймете. Гораздо проще проводится бесконечный спуск при доказательстве отсутсвия решений у уравнения [math]b^4-a^4=c^2[/math] тоесть [math](b^2+a^2)(b^2-a^2)=c^2[/math]. Чем то похожи, да? Но не совсем. Тут досаднее. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали: 3axap |
||
3axap |
|
|
Теперь намного понятнее.
Shadows писал(а): Так как множители могут иметь общий делитель 17 (и только), то нужно рассмотреть еще одну систему: [math]\begin{cases}b^2+a^2=17p^2\\b^2-16a^2=17q^2\end{cases}[/math] (вы бы тоже справились). Я думаю, что нет. Решить систему могу, а с нахождением ОД у меня пока пробел... Shadows писал(а): С вторым случаем справились легко. С первым кстати тоже справился - там бесконечный спуск тоже работает, только подлиннее, не буду тут рассписывать, все равно ничего не поймете. Ну почему же, может и понял бы... |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 8 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Диофантово уравнение | 584 |
12748 |
12 дек 2015, 00:03 |
|
Диофантово уравнение
в форуме Алгебра |
5 |
127 |
10 ноя 2023, 22:39 |
|
Диофантово уравнение
в форуме Алгебра |
2 |
166 |
07 июн 2023, 14:41 |
|
Диофантово уравнение
в форуме Теория чисел |
4 |
392 |
25 фев 2020, 11:11 |
|
Диофантово уравнение
в форуме Теория чисел |
10 |
2814 |
17 июл 2014, 22:39 |
|
Уравнение диофантово
в форуме Теория чисел |
23 |
823 |
17 июн 2021, 11:02 |
|
Как решается уравнение?
в форуме Алгебра |
4 |
487 |
05 сен 2015, 06:43 |
|
Как решается уравнение?
в форуме Тригонометрия |
3 |
545 |
05 мар 2016, 10:48 |
|
Квадратное диофантово уравнение
в форуме Теория чисел |
13 |
856 |
11 июн 2018, 11:01 |
|
Диофантово уравнение 2-й степени
в форуме Теория чисел |
7 |
1038 |
12 янв 2017, 12:15 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 26 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |