Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 10 май 2019, 16:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 май 2019, 16:07
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
x^2+y^2=19861986

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 10 май 2019, 16:23 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Делителем числа 19861986 является 3, на 9 число не делится. Поскольку одним из делителей является число вида 4n+3, которое входит в состав делителей в нечетной степени, то данное уравнение решений в целых не имеет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю underline "Спасибо" сказали:
bekean
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 10 май 2019, 19:19 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 май 2017, 23:18
Сообщений: 469
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 194
Спасибо получено:
28 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Т.н. "диофантово уравнение".
Я бы представил в виде суммы квадратов двух нечётных, чётных или чётного+нечётного чисел, и посмотрел бы в итоге, как это всё делится на 3.
Например:[math]{(2k + 1)^2}+{(2n + 1)^2}= 4{k^2}+ 4k + 1 + 4{n^2}+ 4n + 1 = 4({k^2}+ k +{n^2}+ n) + 2[/math]
[math]{(2k + 1)^2}+{(2n)^2}= 4{k^2}+ 4k + 1 + 4{n^2}= 4({k^2}+ k +{n^2}) + 1[/math]
[math]{(2k)^2}+{(2n)^2}= 4{k^2}+ 4{n^2}= 4({k^2}+{n^2})[/math]
Ну даже если предположить, что скобки делятся на 3, то есть остатки.
Вот только с последним как-то неловко, [math]({k^2}+{n^2})[/math] может делиться на 3? :(
Ах, ну да, наше число ведь не делится на 4 без остатка, т.к. две его последних цифры (8 и 6) не образуют число, делящееся на 4(см. признак делимости на 4). 86 не делится на 4 нацело, наши последние скобки тогда-дробное число, целых x и y не выйдет.)Так что, в принципе, всё правильно, вроде.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 12 май 2019, 18:44 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pavel_Kotoff
То что число не делится на 4, вовсе не означает, что оно непредставимо в виде квадратов двух целых. Явный пример - [math]130=11^{2}+3^{2}=9^{2}+7^{2}[/math]. Это все потому и только потому, что [math]130=2 \cdot 5 \cdot 13[/math], т.е. его простые делители не имеют вида [math]4n+3[/math]. Наглядный пример - 3, 7, 19, 30 не представимы в виде суммы квадратов целых. Можете ради интереса, попробовать доказать это утверждение самостоятельно. Оно элементарно (т.е. не выходит за рамки школьного курса, а не легкое).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю underline "Спасибо" сказали:
Pavel_Kotoff
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 12 май 2019, 22:59 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 май 2017, 23:18
Сообщений: 469
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 194
Спасибо получено:
28 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, чушь какая-то получилась у меня.
Спасибо, я только сегодня узнал, что простые числа можно представить в виде 4n+3, и, что множество простых чисел такого вида бесконечно. Это теорема Дирихле, по-моему. Надо разбираться.
Как это увидел я: 19861986 делится на 3, по признаку делимости:
19861986=3*2*3310331;
331031=4*827582+3; т.е. простое число, обозначим его q; 19861986=6q
[math]x^{2}+y^{2}=6q[/math]
В комбинациях:
[math]x^{2}+y^{2}=1q+5q[/math];
[math]x^{2}+y^{2}=2q+3q[/math];
[math]x^{2}+y^{2}=4q+2q[/math];
И все корни из q, 2q,3q,4q, 5q, иррациональны, ибо корень из любого простого числа-иррационален. Отсюда-x и y не целые.
Так можно? Наивняк, конечно, но всё же.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 13 май 2019, 00:20 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 май 2017, 23:18
Сообщений: 469
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 194
Спасибо получено:
28 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Опечатка: 3310331=4*827582+3.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 13 май 2019, 11:56 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 май 2017, 23:18
Сообщений: 469
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 194
Спасибо получено:
28 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Разложение на простые множители,онлайн сервис в интернете: 19861986=2·3·73·137·331 Опять я напортачил, 3310331 -не простое число, а нат. вида 4n+3, потому что в n содержатся составные компоненты, значит, 3310331 имеет простой делитель того же вида (331). Я вот только не понял, как Вы искали простые делители для 3310331, тоже пользовались онлайн-сервисами? Или списком простых чисел вида 4n+3?
И мне ещё нужно разобраться, почему произведение простых чисел, одно или несколько которых имеет вид 4n+3 (именно в нечётной степени) непредставимо в виде квадратов двух целых.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 13 май 2019, 21:37 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 май 2017, 23:18
Сообщений: 469
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 194
Спасибо получено:
28 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/03/16.pdf


Меняем лишь номера страничек в адресной строке, например, не "...16.pdf", а "...17.pdf", тема подробно расписана.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 18 май 2019, 07:07 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pavel_Kotoff
Достаточно было одного множителя 3, который лишь в первой степени, дальше раскладывать необязательно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

nuclscient

7

276

08 мар 2023, 18:46

Уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

one man

8

280

08 мар 2023, 20:55

Уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

mdauletiyarov

11

489

27 авг 2023, 10:51

Уравнение в целых числах

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

vlad97881

4

342

06 апр 2019, 15:40

Уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

KseniyaM

4

495

07 май 2014, 20:29

Уравнение в целых числах

в форуме Теория чисел

showtime200000

5

336

11 дек 2019, 10:37

Уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

zakharova-forum

2

283

11 июл 2020, 20:43

Уравнение в целых числах

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

FEBUS

48

2498

02 сен 2018, 22:44

Уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

Bolshova Sveta

5

401

13 дек 2018, 15:38

Уравнение в целых числах

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

AnnaIvan

2

488

13 окт 2016, 23:12


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 33


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved