Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
alekscooper |
|
|
прошу помочь понять, где я сделал неравносильное преобразование и откуда у меня посторонний корень. Дано: [math]\arcsin x+\arcsin2x=\frac{2\pi}{3}[/math] Решение: ОДЗ: [math]\begin{cases} -1\leq x\leq1\\ -1\leq2x\leq1 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} -1\leq x\leq1\\ -\frac{1}{2}\leq x\leq\frac{1}{2} \end{cases}\Rightarrow x\in\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right][/math] Далее: [math]\arcsin x+\arcsin2x=\frac{2\pi}{3}\Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow\cos\left(\arcsin x+\arcsin2x\right)=\cos\frac{2\pi}{3}\Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow\cos\left(\arcsin x\right)\cos\left(\arcsin2x\right)-\sin\left(\arcsin x\right)\sin\left(\arcsin2x\right)=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow\sqrt{1-x^{2}}\sqrt{1-4x^{2}}-x*2x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-4x^{2}\right)}=2x^{2}-\frac{1}{2}[/math] [math]2x^{2}-\frac{1}{2}\ge0\Rightarrow2x^{2}\ge\frac{1}{2}\Rightarrow x^{2}\ge\frac{1}{4}\Rightarrow x\in\left(-\infty;-\frac{1}{2}\right]\cup\left[\frac{1}{2};\infty\right)[/math] Таким образом, исходя из ОДЗ, мы можем определить только 2 претендента на корень: [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math] и [math]-\frac{ 1 }{ 2 }[/math]. Оба этих числа являются корнями полученного уравнения. Но проблема в том, что только [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math] является корнем уравнения исходного, а [math]-\frac{ 1 }{ 2 }[/math] - нет. И я не могу понять, откуда этот лишний корень. Помогите, пожалуйста, понять, где нарушена равносильность преобразований. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Равносильность была нарушена в тот момент, когда от суммы арксинусов Вы перешли к косинусу суммы арксинусов - появилось лишнее симметричное решение, когда аргументом косинуса будет отрицательное число, а правая часть будет та же самая.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: alekscooper |
||
alekscooper |
|
|
michel писал(а): Равносильность была нарушена в тот момент, когда от суммы арксинусов Вы перешли к косинусу суммы арксинусов - появилось лишнее симметричное решение, когда аргументом косинуса будет отрицательное число, а правая часть будет та же самая. Понял. А какие ограничения наложить, чтобы преобразования были равносильными? [math]\arcsin x+\arcsin2x>0[/math]? |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
alekscooper писал(а): А какие ограничения наложить, чтобы преобразования были равносильными? А зачем? alekscooper писал(а): Но проблема в том, что только 1/2 является корнем уравнения исходного, а −1/2 - нет. Сильно напрягает? Проверили корни. Отсеяли лишние. В сложных задачах можно (если, конечно, можно) в начале построить график для контроля. В нашем случае функция в левой части уравнения монотонно возрастает. Максимум равен правой части уравнения. Это уже даёт намёк на решение. |
||
Вернуться к началу | ||
alekscooper |
|
|
searcher писал(а): alekscooper писал(а): А какие ограничения наложить, чтобы преобразования были равносильными? А зачем? alekscooper писал(а): Но проблема в том, что только 1/2 является корнем уравнения исходного, а −1/2 - нет. Сильно напрягает? Проверили корни. Отсеяли лишние. В сложных задачах можно (если, конечно, можно) в начале построить график для контроля. В нашем случае функция в левой части уравнения монотонно возрастает. Максимум равен правой части уравнения. Это уже даёт намёк на решение. В смысле "зачем"? Для понимания того, где именно я ошибся. У меня это хобби, так что мне не только решение нужно, но и понимание процесса Про графики и монотонность я знаю, но как-то пока таким способом не практиковался. Решаю пока в лоб Спасибо за идею! |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
alekscooper писал(а): В смысле "зачем"? Для понимания того, где именно я ошибся. А почему вы решили, что вы ошиблись? Вы же решили уравнение правильно. Нашли единственный корень [math]x=1 \slash 2[/math] . |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
alekscooper Если от уравнения переходят к следствию, то корни не теряются, но могут появиться лишние. Так что равносильностью можно не озадачиваться, а просто отсеять лишние простой подстановкой в исходное уравнение. Как правило это проще, чем на каждом шаге искать условия равносильности. Следить надо лишь за тем, что переход был именно от уравнения к следствию.
Лишь иногда могут возникать ситуации, когда слежение за равносильностью выгоднее отбраковки посторонних корней. Обычно это бывает, когда корни ну очень уж плохие для подстановки в исходное уравнение. Другое дело - неравенства, там, наоборот, отсеиванием в принципе обойтись нельзя. |
||
Вернуться к началу | ||
alekscooper |
|
|
searcher писал(а): alekscooper писал(а): В смысле "зачем"? Для понимания того, где именно я ошибся. А почему вы решили, что вы ошиблись? Вы же решили уравнение правильно. Нашли единственный корень [math]x=1 \slash 2[/math] . Я ошибся, когда указал, что преобразование равносильно там, где в действительности я перешёл к следствию. А, поскольку я был уверен, что выполнял равносильные преобразования, я записал в ответ лишний корень. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
alekscooper писал(а): А, поскольку я был уверен, что выполнял равносильные преобразования Обычно неравносильные преобразования возникают тогда, когда мы к обеим частям уравнения применяем неинъективные функции. В данном случае это функция косинуса. А обычно это возведение в квадрат или в любую чётную степень. alekscooper писал(а): я записал в ответ лишний корень. Для страховки всегда полезно корни проверить. |
||
Вернуться к началу | ||
alekscooper |
|
|
Понимаете, какая штука: если цель - просто найти корни уравнения, то да. Но я лично чувствую, что иногда я что-то упускаю, вот как, например, я лоханулся, забыв, что косинус - чётная функция, поэтому рассуждал неправильно.
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 10 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Откуда взялся корень?
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
348 |
25 янв 2016, 18:08 |
|
Разделить корень 3-ей степени на квадратный корень из х
в форуме Алгебра |
3 |
550 |
14 июл 2018, 18:53 |
|
Откуда взяли х-2?
в форуме Алгебра |
2 |
198 |
26 фев 2023, 20:50 |
|
Откуда берётся w(Θ)
в форуме Ряды |
2 |
380 |
12 фев 2017, 14:51 |
|
Откуда это число?
в форуме Школьная физика |
8 |
325 |
14 янв 2020, 14:49 |
|
Откуда взялось выражение?
в форуме Геометрия |
3 |
322 |
02 мар 2018, 06:00 |
|
Откуда взялось выражение?
в форуме Тригонометрия |
1 |
214 |
02 сен 2022, 12:56 |
|
Откуда появилось еще 2 решения? | 6 |
200 |
06 май 2022, 12:17 |
|
Откуда взялась двойка? | 1 |
404 |
19 фев 2016, 19:16 |
|
Откуда косинусы в задаче?
в форуме Тригонометрия |
1 |
454 |
13 авг 2016, 14:46 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 36 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |