Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Откуда посторонний корень?
СообщениеДобавлено: 06 май 2019, 22:22 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 254
Cпасибо сказано: 173
Спасибо получено:
11 раз в 11 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте,

прошу помочь понять, где я сделал неравносильное преобразование и откуда у меня посторонний корень.

Дано:

[math]\arcsin x+\arcsin2x=\frac{2\pi}{3}[/math]


Решение:

ОДЗ:

[math]\begin{cases}
-1\leq x\leq1\\
-1\leq2x\leq1
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
-1\leq x\leq1\\
-\frac{1}{2}\leq x\leq\frac{1}{2}
\end{cases}\Rightarrow x\in\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right][/math]


Далее:

[math]\arcsin x+\arcsin2x=\frac{2\pi}{3}\Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow\cos\left(\arcsin x+\arcsin2x\right)=\cos\frac{2\pi}{3}\Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow\cos\left(\arcsin x\right)\cos\left(\arcsin2x\right)-\sin\left(\arcsin x\right)\sin\left(\arcsin2x\right)=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow\sqrt{1-x^{2}}\sqrt{1-4x^{2}}-x*2x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-4x^{2}\right)}=2x^{2}-\frac{1}{2}[/math]

[math]2x^{2}-\frac{1}{2}\ge0\Rightarrow2x^{2}\ge\frac{1}{2}\Rightarrow x^{2}\ge\frac{1}{4}\Rightarrow x\in\left(-\infty;-\frac{1}{2}\right]\cup\left[\frac{1}{2};\infty\right)[/math]


Таким образом, исходя из ОДЗ, мы можем определить только 2 претендента на корень: [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math] и [math]-\frac{ 1 }{ 2 }[/math]. Оба этих числа являются корнями полученного уравнения.

Но проблема в том, что только [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math] является корнем уравнения исходного, а [math]-\frac{ 1 }{ 2 }[/math] - нет. И я не могу понять, откуда этот лишний корень.

Помогите, пожалуйста, понять, где нарушена равносильность преобразований.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда посторонний корень?
СообщениеДобавлено: 06 май 2019, 22:44 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 4305
Cпасибо сказано: 129
Спасибо получено:
1514 раз в 1401 сообщениях
Очков репутации: 214

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Равносильность была нарушена в тот момент, когда от суммы арксинусов Вы перешли к косинусу суммы арксинусов - появилось лишнее симметричное решение, когда аргументом косинуса будет отрицательное число, а правая часть будет та же самая.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
alekscooper
 Заголовок сообщения: Re: Откуда посторонний корень?
СообщениеДобавлено: 06 май 2019, 23:00 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 254
Cпасибо сказано: 173
Спасибо получено:
11 раз в 11 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Равносильность была нарушена в тот момент, когда от суммы арксинусов Вы перешли к косинусу суммы арксинусов - появилось лишнее симметричное решение, когда аргументом косинуса будет отрицательное число, а правая часть будет та же самая.


Понял. А какие ограничения наложить, чтобы преобразования были равносильными? [math]\arcsin x+\arcsin2x>0[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда посторонний корень?
СообщениеДобавлено: 07 май 2019, 08:19 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5878
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
921 раз в 875 сообщениях
Очков репутации: 168

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
alekscooper писал(а):
А какие ограничения наложить, чтобы преобразования были равносильными?

А зачем?
alekscooper писал(а):
Но проблема в том, что только 1/2 является корнем уравнения исходного, а −1/2 - нет.

Сильно напрягает? Проверили корни. Отсеяли лишние. В сложных задачах можно (если, конечно, можно) в начале построить график для контроля. В нашем случае функция в левой части уравнения монотонно возрастает. Максимум равен правой части уравнения. Это уже даёт намёк на решение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда посторонний корень?
СообщениеДобавлено: 07 май 2019, 09:41 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 254
Cпасибо сказано: 173
Спасибо получено:
11 раз в 11 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
alekscooper писал(а):
А какие ограничения наложить, чтобы преобразования были равносильными?

А зачем?
alekscooper писал(а):
Но проблема в том, что только 1/2 является корнем уравнения исходного, а −1/2 - нет.

Сильно напрягает? Проверили корни. Отсеяли лишние. В сложных задачах можно (если, конечно, можно) в начале построить график для контроля. В нашем случае функция в левой части уравнения монотонно возрастает. Максимум равен правой части уравнения. Это уже даёт намёк на решение.


В смысле "зачем"? Для понимания того, где именно я ошибся. У меня это хобби, так что мне не только решение нужно, но и понимание процесса :)

Про графики и монотонность я знаю, но как-то пока таким способом не практиковался. Решаю пока в лоб :) Спасибо за идею!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда посторонний корень?
СообщениеДобавлено: 07 май 2019, 11:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5878
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
921 раз в 875 сообщениях
Очков репутации: 168

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
alekscooper писал(а):
В смысле "зачем"? Для понимания того, где именно я ошибся.

А почему вы решили, что вы ошиблись? Вы же решили уравнение правильно. Нашли единственный корень [math]x=1 \slash 2[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда посторонний корень?
СообщениеДобавлено: 07 май 2019, 12:43 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2490
Cпасибо сказано: 90
Спасибо получено:
796 раз в 636 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
alekscooper Если от уравнения переходят к следствию, то корни не теряются, но могут появиться лишние. Так что равносильностью можно не озадачиваться, а просто отсеять лишние простой подстановкой в исходное уравнение. Как правило это проще, чем на каждом шаге искать условия равносильности. Следить надо лишь за тем, что переход был именно от уравнения к следствию.
Лишь иногда могут возникать ситуации, когда слежение за равносильностью выгоднее отбраковки посторонних корней. Обычно это бывает, когда корни ну очень уж плохие для подстановки в исходное уравнение.
Другое дело - неравенства, там, наоборот, отсеиванием в принципе обойтись нельзя.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда посторонний корень?
СообщениеДобавлено: 07 май 2019, 20:28 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 254
Cпасибо сказано: 173
Спасибо получено:
11 раз в 11 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
alekscooper писал(а):
В смысле "зачем"? Для понимания того, где именно я ошибся.

А почему вы решили, что вы ошиблись? Вы же решили уравнение правильно. Нашли единственный корень [math]x=1 \slash 2[/math] .


Я ошибся, когда указал, что преобразование равносильно там, где в действительности я перешёл к следствию. А, поскольку я был уверен, что выполнял равносильные преобразования, я записал в ответ лишний корень.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда посторонний корень?
СообщениеДобавлено: 07 май 2019, 21:24 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5878
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
921 раз в 875 сообщениях
Очков репутации: 168

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
alekscooper писал(а):
А, поскольку я был уверен, что выполнял равносильные преобразования

Обычно неравносильные преобразования возникают тогда, когда мы к обеим частям уравнения применяем неинъективные функции. В данном случае это функция косинуса. А обычно это возведение в квадрат или в любую чётную степень.
alekscooper писал(а):
я записал в ответ лишний корень.

Для страховки всегда полезно корни проверить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда посторонний корень?
СообщениеДобавлено: 07 май 2019, 22:01 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 254
Cпасибо сказано: 173
Спасибо получено:
11 раз в 11 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Понимаете, какая штука: если цель - просто найти корни уравнения, то да. Но я лично чувствую, что иногда я что-то упускаю, вот как, например, я лоханулся, забыв, что косинус - чётная функция, поэтому рассуждал неправильно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Откуда взялся корень?

в форуме Интегральное исчисление

sfanter

2

230

25 янв 2016, 18:08

Разделить корень 3-ей степени на квадратный корень из х

в форуме Алгебра

alekscooper

3

225

14 июл 2018, 18:53

Откуда это число?

в форуме Школьная физика

zillahelp

7

90

14 янв 2020, 14:49

Откуда берётся w(Θ)

в форуме Ряды

Ilya_Honda

2

139

12 фев 2017, 14:51

Формула Муавра, откуда 2 пи ка?

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

tumkan

3

537

23 окт 2013, 00:11

Откуда взялась двойка?

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

sfanter

1

218

19 фев 2016, 19:16

Откуда взялось выражение?

в форуме Геометрия

Andreww

3

184

02 мар 2018, 06:00

Откуда косинусы в задаче?

в форуме Тригонометрия

sfanter

1

307

13 авг 2016, 14:46

Откуда взяллось выражение 2x?

в форуме Алгебра

DimaK

4

157

17 июн 2019, 11:49

Математическое наитие - откуда?

в форуме Размышления по поводу и без

Unconnected

3

753

24 ноя 2010, 19:39


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Antek и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved