Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решить систему уравнений
СообщениеДобавлено: 01 май 2019, 21:44 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 май 2017, 23:18
Сообщений: 258
Cпасибо сказано: 114
Спасибо получено:
9 раз в 8 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача 1053 из уч. Макарычева за 9-ый кл.
Решить систему уравнений:

Сканы условия и ответа прилагаются,+график для удобства.
Изображение
Изображение

Система:
[math]\left\{\begin{gathered}{x^3}-{y^3}= 19(x - y); \hfill \\{x^3}+{y^3}= 7(x + y) \hfill \\ \end{gathered}\right.[/math]
Сразу бросается в глаза решение (0;0).
Производим разложение на множители обоих уравнений:
[math]\begin{gathered}(x - y)({x^2}+ xy +{y^2}) = 19(x - y); \hfill \\ (x + y)({x^2}- xy +{y^2}) = 7(x + 9) \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Сокращаем оба ур-ия, учитывая, что наше дальнейшее решение не будет равно нулю, и [math]x\ne \pm y[/math]
[math]\begin{gathered}{x^2}+ xy +{y^2}= 19 \hfill \\{x^2}- xy +{y^2}= 7 \hfill \\ \end{gathered}[/math]
От первого ур-ия отнимаем второе:
[math]\begin{gathered}2xy = 19 - 7 = 12; \hfill \\ xy = 6; \hfill \\ x = \frac{6}{y}\hfill \\ \end{gathered}[/math]

Подставляем x во второе ур-ие в исходной системе,

[math]\begin{gathered}{(\frac{6}{y})^3}+{y^3}= 7(x + y); \hfill \\ \frac{{216}}{{{y^3}}}+{y^3}= 7 \cdot \frac{6}{y}+ 7y; \hfill \\ 216 +{y^6}- 42{y^2}+ 7{y^3}= 0; \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Получили ур-ие 6-ой степени. Разложение на множители:
[math]\begin{gathered}216 +{y^6}- 42{y^2}- 7{y^4}= 0; \hfill \\{6^3}+{({y^2})^3}- 7{y^2}(6 +{y^2}) = 0; \hfill \\ (6 +{y^2})({6^2}- 6{y^2}+{y^4}) - 7{y^2}(6 +{y^2}) = 0; \hfill \\ (6 +{y^2})(36 - 6{y^2}+{y^4}- 7{y^2}) = 0; \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Пришли к бикв. ур-ию:

[math]\begin{gathered}{t^2}- 13t + 36 = 0; \hfill \\{t_{1 - 2}}= \frac{{13 \pm \sqrt{{{13}^2}- 4 \cdot 36}}}{2}= \frac{{13 \pm 5}}{2}; \hfill \\{t_1}= 4; \hfill \\{t_2}= 9 \hfill \\{y_{1 - 2}}= \pm 2; \hfill \\{y_{1 - 2}}= \pm 3; \hfill \\ x = \frac{6}{y}; \hfill \\{x_{1 =}}\frac{6}{{{y_1}}}= - 3; \hfill \\{x_{1 =}}\frac{6}{{{y_2}}}= 3; \hfill \\{x_{3 =}}\frac{6}{{{y_3}}}= - 2; \hfill \\{x_{4 =}}\frac{6}{{{y_1}}}= 2; \hfill \\ \end{gathered}[/math]


Последний раз редактировалось Pavel_Kotoff 01 май 2019, 22:02, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить систему уравнений
СообщениеДобавлено: 01 май 2019, 21:45 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 май 2017, 23:18
Сообщений: 258
Cпасибо сказано: 114
Спасибо получено:
9 раз в 8 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Откуда корни (0;0),(-3;-2),(3;2),(-2;-3),(-3;-2) мне понятно, но вот эти:
(-[math]\sqrt{7}[/math];-[math]\sqrt{7}[/math]),([math]\sqrt{7}[/math];[math]\sqrt{7}[/math]),(-[math]\sqrt{19}[/math];[math]\sqrt{19}[/math]),([math]\sqrt{19}[/math];-[math]\sqrt{19}[/math])???
Это ещё 4 точки, всего 9, а на графике же 7.
Не понимаю...


Последний раз редактировалось Pavel_Kotoff 01 май 2019, 22:06, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить систему уравнений
СообщениеДобавлено: 01 май 2019, 21:57 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 6677
Cпасибо сказано: 82
Спасибо получено:
1115 раз в 1055 сообщениях
Очков репутации: 187

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pavel_Kotoff писал(а):
xy=6

Прибавьте это к первому уравнению системы и отнимите это от второго уравнения. Извлеките корни с плюс-минусом.
P.S. Пока набирал, появилось у вас продолжение. Не хочу вас сбивать с мысли.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Pavel_Kotoff
 Заголовок сообщения: Re: Решить систему уравнений
СообщениеДобавлено: 01 май 2019, 22:00 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 6677
Cпасибо сказано: 82
Спасибо получено:
1115 раз в 1055 сообщениях
Очков репутации: 187

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pavel_Kotoff писал(а):
Сокращаем оба ур-ия, учитывая, что наше дальнейшее решение не будет равно ... x≠±y

А оно таки может и быть. Эти случаи надо смотреть отдельно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Pavel_Kotoff
 Заголовок сообщения: Re: Решить систему уравнений
СообщениеДобавлено: 01 май 2019, 22:11 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 5083
Cпасибо сказано: 147
Спасибо получено:
1787 раз в 1660 сообщениях
Очков репутации: 250

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А в чем состоит вопрос?
Три случая:
1) [math]y=x[/math];
2) [math]y=-x[/math];
3) [math]y=\frac{ 6 }{ x }[/math].
Первые два случая достаточно элементарные. Последний третий случай приводит только к квадратным уравнениям. Очевидна нерациональность решения, связанная с подстановкой третьего соотношения в кубические уравнения.
Понял Ваш главный вопрос - на графике мне тоже показалось лишь семь точек пересечения, но их оказывается 9.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Pavel_Kotoff
 Заголовок сообщения: Re: Решить систему уравнений
СообщениеДобавлено: 01 май 2019, 22:45 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 6677
Cпасибо сказано: 82
Спасибо получено:
1115 раз в 1055 сообщениях
Очков репутации: 187

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pavel_Kotoff писал(а):
но вот эти:
(-[math]\sqrt{7}[/math];-[math]\sqrt{7}[/math]),([math]\sqrt{7}[/math];[math]\sqrt{7}[/math]),(-[math]\sqrt{19}[/math];[math]\sqrt{19}[/math]),([math]\sqrt{19}[/math];-[math]\sqrt{19}[/math])???
Это ещё 4 точки, всего 9, а на графике же 7.
Не понимаю...

Это пересечение прямых и эллипсов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Pavel_Kotoff
 Заголовок сообщения: Re: Решить систему уравнений
СообщениеДобавлено: 01 май 2019, 22:57 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 май 2017, 23:18
Сообщений: 258
Cпасибо сказано: 114
Спасибо получено:
9 раз в 8 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, уже заметил, синий эллипс пересекается с красной прямой, а я раньше видел только как красный элл. пересек. с синей прямой. Чертовщина, прямо, какая-то... Большое спасибо всем за помощь! Даже хотел озаглавить тему "Система ур-ий. Лишние точки на графике."
1) Первое ур-ие, x=y; подставляем во вторую скобку произведения ВТОРОГО исх. ур-ия, получаем корни с [math]\sqrt{7}[/math];
2) Второе ур-ие x=-y; подставляем во вторую скобку произведения ПЕРВОГО исх. ур-ия, получаем корни с [math]\sqrt{19}[/math];
Просто иногда возникают соблазны подставлять найденное в то же самое ур-ие, где оно было найдено, но так делать низзя.)


Последний раз редактировалось Pavel_Kotoff 01 май 2019, 23:26, всего редактировалось 3 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить систему уравнений
СообщениеДобавлено: 01 май 2019, 23:05 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 6677
Cпасибо сказано: 82
Спасибо получено:
1115 раз в 1055 сообщениях
Очков репутации: 187

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если каждое из двух уравнений системы можно представить как произведение двух множителей, равное нулю, то получаем четыре системы уравнений, в которых надо комбинировать множители первого и второго уравнения. Геометрически это означает, что график каждого уравнения распадается на прямую и эллипс. И тут получается много разных пересечений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Pavel_Kotoff
 Заголовок сообщения: Re: Решить систему уравнений
СообщениеДобавлено: 01 май 2019, 23:29 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 май 2017, 23:18
Сообщений: 258
Cпасибо сказано: 114
Спасибо получено:
9 раз в 8 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ЗЫ Кстати, пример из раздела "Задачи повышенной трудности".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Как решить систему уравнений?

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Valery12

6

350

19 янв 2019, 12:17

Решить систему уравнений

в форуме Тригонометрия

Nikita161

2

319

20 окт 2017, 19:23

Решить систему уравнений

в форуме Алгебра

ruslan1111

8

539

26 июл 2014, 11:21

Решить систему уравнений:

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

vlados_vraznos

1

343

27 май 2013, 23:26

Решить систему уравнений

в форуме Алгебра

Nikita_99

4

488

16 мар 2016, 20:18

Как решить систему уравнений?

в форуме Дифференциальное исчисление

crick

1

315

08 дек 2012, 20:35

Решить систему уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

newtagi

3

287

15 июн 2017, 17:03

Решить систему уравнений

в форуме Алгебра

Antonved

0

316

22 дек 2011, 14:31

Решить систему уравнений

в форуме Численные методы

__kat__s

2

104

21 май 2020, 09:30

Решить систему уравнений

в форуме Алгебра

sergey_z

3

371

24 окт 2013, 16:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved