Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Узнать остаток от деления степени на число
СообщениеДобавлено: 30 дек 2018, 20:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 дек 2018, 20:33
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Возникла проблема с такой задачей: нужно узнать остаток от деления степени на обычное число, например: [math]5^{20}[/math] на 9. Есть ли на подобные случаи какой-нибудь правило? Благодарю заранее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Узнать остаток от деления степени на число
СообщениеДобавлено: 30 дек 2018, 21:33 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 3268
Cпасибо сказано: 263
Спасибо получено:
417 раз в 407 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Признак делимости на 9 знаете?

Ответ смотрите здеся

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Узнать остаток от деления степени на число
СообщениеДобавлено: 30 дек 2018, 21:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 дек 2018, 20:33
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, я знаю что если сумма цифр числа делится на 9, то число делится на 9, но, как узнать сумму цифр степени?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Узнать остаток от деления степени на число
СообщениеДобавлено: 30 дек 2018, 21:44 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2018, 22:06
Сообщений: 830
Cпасибо сказано: 209
Спасибо получено:
245 раз в 225 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Один из таких способов заключается в следующем:

1. Переводим показатель степени в двоичную систему счисления любым из удобных способов. Например, можно делить число на 2, записывая в левой колонке частные, а в правой - остаток от деления. В данном примере:

[math]\begin{pmatrix} 20 & 0 \\ 10 & 0 \\ 5 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Теперь записываем результат правой колонки снизу вверх и имеем:

[math]20_{10} = 10100_{2}[/math], т.е. [math]20 = 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} = 16 + 4[/math]

2. Воспользуемся свойством (теоремой?) о том, что сумма (произведение) двух (или более) чисел дают такой же остаток при делении на [math]n[/math], как и сумма (произведение) остатков отдельных слагаемых (множителей). Тогда:

[math]5^{20} \pmod{ 9 } = 5^{16 + 4} \pmod{ 9 } = \left( 5^{16} \cdot 5^{4} \right) \pmod{ 9 } = \left[ \left( 5^{4} \right)^{4} \cdot 5^{4} \right] \pmod{ 9 }[/math]

Далее, [math]5^{4} \pmod{ 9 } = \left( 5^{2} \right)^{2} \pmod{ 9} = 25^{2} \pmod{ 9 } = \left( 25 \pmod{ 9 } \right)^{2} \pmod{ 9 } =[/math]

[math]= 7^{2} \pmod{ 9 } = 49 \pmod{ 9 } = 4[/math], и тогда:

[math]5^{20} \pmod{ 9 } = \left[ \left( 5^{4} \right)^{4} \cdot 5^{4} \right] \pmod{ 9 } \equiv \left( 4^{4} \cdot 4 \right) \pmod{ 9 } = \left( 256 \cdot 4 \right) \pmod{ 9 } = 256 \pmod{ 9 } \cdot 4 \pmod{ 9 } \equiv \left( 4 \cdot 4 \right) \pmod{ 9 } = 16 \pmod{ 9 } = 7[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю AGN "Спасибо" сказали:
Djwiccdeqd
 Заголовок сообщения: Re: Узнать остаток от деления степени на число
СообщениеДобавлено: 30 дек 2018, 22:30 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
07 дек 2018, 20:55
Сообщений: 242
Cпасибо сказано: 58
Спасибо получено:
43 раз в 36 сообщениях
Очков репутации: -26

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]5^3=-1\pmod{ 9 }[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Fenix "Спасибо" сказали:
AGN
 Заголовок сообщения: Re: Узнать остаток от деления степени на число
СообщениеДобавлено: 31 дек 2018, 00:43 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2018, 22:06
Сообщений: 830
Cпасибо сказано: 209
Спасибо получено:
245 раз в 225 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, и тогда:

[math]5^{20} \pmod{ 9 } = \left[ \left( 5^{3} \right)^{6} \cdot 5^{2} \right] \pmod{ 9 } \equiv \left( - 1 \right)^{6} \cdot 25 \pmod{ 9 } = 25 \pmod{ 9 } = 7[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Узнать остаток от деления степени на число
СообщениеДобавлено: 31 дек 2018, 08:55 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А почему забыли про функцию Эйлера ?
[math]\varphi(9)=6[/math]
[math]5^{20}(mod9)=x[/math]
[math]5^6(mod9)=1[/math]
[math]5^2(mod9)=7[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Узнать остаток от деления степени на число
СообщениеДобавлено: 31 дек 2018, 12:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 дек 2018, 20:33
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Окей, а как узнать остаток, скажем, от деления[math]30^{2008}[/math] на 9?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Узнать остаток от деления степени на число
СообщениеДобавлено: 31 дек 2018, 13:20 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
То же самоеё

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Узнать остаток от деления степени на число
СообщениеДобавлено: 31 дек 2018, 14:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Djwiccdeqd писал(а):
Окей, а как узнать остаток, скажем, от деления[math]30^{2008}[/math] на 9?
И немедленно выпил

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти остаток от деления числа в степени в степени

в форуме Теория чисел

hejihe4135

7

1586

03 мар 2020, 16:51

Остаток от деления числа в степени

в форуме Теория чисел

olgasikir

1

1912

31 окт 2016, 13:09

Найти остаток от деления 10 в 10 степени на 67

в форуме Теория чисел

kapyshkina_darya

7

1186

11 ноя 2017, 12:00

Остаток от деления числа в степени

в форуме Теория чисел

Oliver

5

2255

31 май 2016, 22:25

Найти остаток от деления числа в степени

в форуме Теория чисел

azh

32

23034

15 дек 2014, 20:15

Остаток от деления

в форуме Теория чисел

TailorMade

2

294

16 дек 2020, 08:48

Остаток от деления

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

photographer

9

657

21 июн 2016, 09:40

Остаток от деления

в форуме Теория чисел

AGN

2

289

21 дек 2020, 20:32

Остаток от деления

в форуме Теория чисел

Kirill Kolokolcev

1

424

09 июн 2018, 00:44

Найти остаток от деления

в форуме Теория чисел

Trek

2

796

16 янв 2015, 20:46


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 36


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved