Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать, что корни прив. кв. ур-ия целые числа
СообщениеДобавлено: 04 май 2018, 13:05 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 май 2017, 00:18
Сообщений: 124
Cпасибо сказано: 57
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: -1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
http://img.gdz-online.ws/30739428/249.jpg
Упражнение 145: "Приведенное кв. ур-ие [math]{x^2}+ px + q = 0[/math] имеет корни- рациональные числа. Докажите, что они целые, при том что коэф-ты p и q тоже."
Множество Q, множество целых чисел, включает в себя множество целых чисел Z, которое, в свою очередь, имеет подмножеством N-натуральные числа. Любое рац. число вида [math]\frac{ m }{ n }[/math], где m-целое, а n-натуральное, легко представить как целое, достаточно лишь выразить n как единицу.
Попробуем решить задачу.
Имеется два рац. корня прив. кв. ур-ия:
[math]\frac{{{m_1}}}{{{n_1}}}[/math] и [math]\frac{{{m_2}}}{{{n_2}}}[/math]
По т. Виета:
[math]\frac{{{m_1}}}{{{n_1}}}+ \frac{{{m_2}}}{{{n_2}}}= - p ={m_3}[/math] Сумма корней равна отриц. коэф-ту p, который, в свою очередь равен некому целому числу [math]{m_3}[/math], по условию.
[math]\frac{{{m_1}{n_2}+{m_2}{n_1}}}{{{n_1}{n_2}}}= \frac{{{m_3}}}{1}[/math]
Две дроби могут быть равны, лишь когда их числители и знаменатели равны между собой.
Произведение двух нат. чисел может равняться единице, только когда эти оба числа равны единице. Имеем:
[math]{n_1}={n_2}= 1[/math]
Тогда корни ур-ия [math]\frac{{{m_1}}}{{{n_1}}}[/math] и [math]\frac{{{m_2}}}{{{n_2}}}[/math] это целые числа [math]{m_1}[/math] и [math]{m_2}[/math].
Смущает меня следующая задача 146, которая напрямую привязана к предыдущей:
"Докажите, что ур-ие [math]{x^2}+ (2m + 1)x + 2n + 1 = 0[/math] не имеет рац. корней, при том, что m и n- целые числа."
Мы же получаем в итоге предыд. ур-ие с целыми к-тами p и q, т.к. 2m+1 и 2n+1 это тоже целые числа, нечётные правда...
И корни их целые, доказано из предыдущего. Так как же они могут быть не рациональными при этом? Целое число это рац. число, просто знаменатель =1.

В ответах задача 145 решается иначе, но меня заинтересовал итог. Попробовал подставить в прив. кв. ур-ие из задания 145 произвольные целые к-ты и не получил целых корней. Например:
[math]\begin{gathered}{x^2}+ 5x - 2 = 0 \hfill \\ D ={5^2}-{2^2}= 21 \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Никаких целых корней, при таком дискриминанте, естественно, быть не может...
Может, я где-нибудь ошибся?


Последний раз редактировалось Pavel_Kotoff 04 май 2018, 13:09, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что корни прив. кв. ур-ия целые числа
СообщениеДобавлено: 04 май 2018, 13:09 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 4002
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
855 раз в 777 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pavel_Kotoff писал(а):
Две дроби могут быть равны, лишь когда их числители и знаменатели равны между собой


[math]\frac 52 = \frac {10} 4[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что корни прив. кв. ур-ия целые числа
СообщениеДобавлено: 04 май 2018, 13:11 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 май 2017, 00:18
Сообщений: 124
Cпасибо сказано: 57
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: -1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Имелось в виду две несократимых дроби...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что корни прив. кв. ур-ия целые числа
СообщениеДобавлено: 04 май 2018, 13:12 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 2681
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
882 раз в 816 сообщениях
Очков репутации: 132

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pavel_Kotoff писал(а):
http://img.gdz-online.ws/30739428/249.jpg
Упражнение 145: "Приведенное кв. ур-ие [math]{x^2}+ px + q = 0[/math] имеет корни- рациональные числа. Докажите, что они целые, при том что коэф-ты p и q тоже."
Попробовал подставить в прив. кв. ур-ие из задания 145 произвольные целые к-ты и не получил целых корней. Например:
[math]\begin{gathered}{x^2}+ 5x - 2 = 0 \hfill \\ D ={5^2}-{2^2}= 21 \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Никаких целых корней, при таком дискриминанте, естественно, быть не может...
Может, я где-нибудь ошибся?

Так по условию задачи - коэффициенты p и q не произвольные, а такие, что есть корни - рациональные числа!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что корни прив. кв. ур-ия целые числа
СообщениеДобавлено: 04 май 2018, 13:14 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 май 2017, 00:18
Сообщений: 124
Cпасибо сказано: 57
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: -1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Коэф-ты p и q-ЦЕЛЫЕ числа, по условию...Но не любые, да?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что корни прив. кв. ур-ия целые числа
СообщениеДобавлено: 04 май 2018, 13:23 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 4002
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
855 раз в 777 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pavel_Kotoff писал(а):
Имелось в виду две несократимых дроби...


Я не видел доказательства, что те те дроби - несократимые.
Да и не может его быть, потому что неправда.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что корни прив. кв. ур-ия целые числа
СообщениеДобавлено: 04 май 2018, 13:24 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 17:58
Сообщений: 1431
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
279 раз в 272 сообщениях
Очков репутации: 101

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если корень из дискриминанта не является целым числом, то и корни уравнения целыми не являются. Рациональными - другое дело.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что корни прив. кв. ур-ия целые числа
СообщениеДобавлено: 04 май 2018, 13:24 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 2681
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
882 раз в 816 сообщениях
Очков репутации: 132

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, не любые

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что корни прив. кв. ур-ия целые числа
СообщениеДобавлено: 04 май 2018, 14:15 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 18:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
204 раз в 186 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть очень известная теорема, что любой рациональный корень полинома с целыми коэффициентами имеет такое свойство: числитель является делителем последнего коэффициента, а знаменатель делит старший коэффициент. У Вас старший 1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали:
Pavel_Kotoff
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что корни прив. кв. ур-ия целые числа
СообщениеДобавлено: 04 май 2018, 15:16 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 4002
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
855 раз в 777 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slon, ага. И молодому человеку предлагают доказать частный случай этой теоремы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать, что если его корни целые числа, то они совпадают

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

russserebro

1

399

22 дек 2013, 11:32

Докажите, что корни уравнения - целые числа

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

alamat

3

563

01 ноя 2013, 20:49

Доказать - деление и целые числа

в форуме Алгебра

afraumar

7

911

03 авг 2013, 12:29

С6. Целые числа

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

oleg_n1

3

448

31 май 2013, 02:24

Целые числа

в форуме Алгебра

Iskadmx

0

135

10 янв 2016, 16:52

Найдите все целые числа

в форуме Алгебра

chelnikov

6

231

10 окт 2016, 17:13

Существуют ли целые числа

в форуме Алгебра

shifo

12

254

01 мар 2018, 16:27

Натуральные и целые числа

в форуме Алгебра

Ildar32

15

172

28 янв 2018, 00:57

Решение уравнения a^x+b^y=c^z , где z>x,y (целые числа)

в форуме Теория чисел

Andrei Parfentiev

3

544

18 фев 2014, 18:12

Найти целые числа, удовлетворяющие неравенству

в форуме Алгебра

FoReVer_17

2

454

06 дек 2014, 11:11


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved