Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Параметр
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=58567
Страница 1 из 2

Автор:  Yabereza2603 [ 12 мар 2018, 21:08 ]
Заголовок сообщения:  Параметр

Найдите все значения параметра а,при каждом из которых уравнение [math]\frac{ x^2+ax+2 }{ 2 }[/math]=[math]\sqrt{4x^2+ax+1}[/math] имеет ровно 3 различных корня
Буду премного благодарна за объяснения!

Автор:  Booker48 [ 13 мар 2018, 00:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметр

Вы ведь даже не пробовали решать, я угадал? Что объяснять-то? Как многочлен в квадрат возводить и что такое ОДЗ?

Автор:  Avgust [ 13 мар 2018, 12:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметр

Под корнем выражение должно быть не меньше нуля. Отсюда

[math]-4\le a \le 4[/math]

И при этих же значениях будем иметь 3 корня.

Автор:  michel [ 13 мар 2018, 12:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметр

.......

Автор:  michel [ 13 мар 2018, 12:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметр

Avgust писал(а):
Под корнем выражение должно быть не меньше нуля. Отсюда

[math]-4\le a \le 4[/math]

И при этих же значениях будем иметь 3 корня.

На самом деле под корнем выражение может быть положительным при любом значении параметра [math]a[/math] (но при соответствующих значениях [math]x[/math]). Тем не менее промежуток (для которого возникают ровно три корня) получился чуть побольше: [math]\left[ \frac{ -7 }{ \sqrt{3}} ;\frac{ 7 }{ \sqrt{3}}\right][/math].
P.S. Трудность этой задачи было связана не с ОДЗ, а с необходимостью отбрасывания лишних корней, которые появляются после возведения иррационального уравнения в квадрат. Кстати корни определяются без проблем [math]x_1=0,x_{2,3}=-a \pm 2\sqrt{3}[/math]

Автор:  Booker48 [ 13 мар 2018, 13:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметр

michel писал(а):
Avgust писал(а):
Под корнем выражение должно быть не меньше нуля. Отсюда
[math]-4\le a \le 4[/math]

И при этих же значениях будем иметь 3 корня.

На самом деле под корнем выражение может быть положительным при любом значении параметра [math]a[/math] (но при соответствующих значениях [math]x[/math]). Тем не менее промежуток (для которого возникают ровно три корня) получился чуть побольше: [math]\left[ \frac{ -7 }{ \sqrt{3}} ;\frac{ 7 }{ \sqrt{3}}\right][/math].
P.S. Трудность этой задачи было связана не с ОДЗ, а с необходимостью отбрасывания лишних корней, которые появляются после возведения иррационального уравнения в квадрат. Кстати корни определяются без проблем [math]x_1=0,x_{2,3}=-a \pm 2\sqrt{3}[/math]

Возможно, основная "трудность" в том, чтобы (действительно без проблем) получив вышеуказанные решения, заметить, что при [math]a=\mp 2\sqrt{3}[/math] получается, что [math]x_{2,3}=0[/math], а по условию требуются 3 различных решения. Поэтому надо ещё исключить и случай равенства [math]x_2[/math] и [math]x_3[/math].

Автор:  michel [ 13 мар 2018, 13:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметр

Да, из вышеуказанного промежутка надо исключить два случая [math]a= \pm 2\sqrt{3}[/math], при которых один с корней [math]x_2,x_3[/math] совпадает с [math]x_1=0[/math]. Случай равенства [math]x_2=x_3[/math] принципиально не может возникнуть, так как [math]x_{2,3}=-a \pm 2\sqrt{3}[/math]

Автор:  venjar [ 13 мар 2018, 17:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметр

У меня получилось:
[math]a \in (- \infty ,-2\sqrt{3}) \cup (-2\sqrt{3},0) \cup (0,2\sqrt{3}) \cup (2\sqrt{3},\frac{ 7 }{ \sqrt{3} }][/math]

Автор:  pewpimkin [ 13 мар 2018, 19:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметр

venjar, у меня получилось, как выше у товарищей. Например, почему ноль не входит-там три корня

Автор:  venjar [ 13 мар 2018, 19:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметр

pewpimkin
Согласен. У меня описка. Вместо [math]x= \pm 2\sqrt{3}-a[/math] написал [math]x= 2\sqrt{3}\pm a[/math].

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/