Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Простая задачка
СообщениеДобавлено: 27 фев 2018, 15:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 фев 2018, 15:03
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток. Сможет кто решить данную задачу аналитическим методом (без калькулятора и метода перебора)?

Есть четырехзначное число. Количество тысяч в нём равно количеству десятков, а количество сотен на 1 больше, чем количество единиц. Квадратный корень этого числа является целым числом.
Задача: найти данное число.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Простая задачка
СообщениеДобавлено: 27 фев 2018, 15:29 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]91^2-90^2=(91-90)(91+90)=181[/math]

[math]91^2=90^2+181=8100+181=8281[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Простая задачка
СообщениеДобавлено: 27 фев 2018, 15:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]A[/math] - наше число, [math]x[/math] - число десятков, [math]y[/math] - число сотен

[math]A = 101(10x+y)-1 = z^2[/math]

[math]101(10x+y)=z^2+1[/math]

Из этого следует, что 10x+y разлагается на сумму квадратов.

[math](10^2+1)(b_1^2+b_2^2)=(10b_1-b_2)^2 + (10b_2+b_1)^2[/math]

Найдем решение

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 10b_1-b_2=1 \\ & 10b_2+b_1=z
\end{aligned}\right.[/math]


[math]b_1=1 ,\quad b_2=9[/math]

[math]A=101(1^2+9^2)-1=8281[/math]

Предвидя упреки, говорю, что не ставил задачу найти все такие числа. Хотя приложив еще чуть усилий можно доказать, что других нет.


Последний раз редактировалось swan 27 фев 2018, 16:05, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Простая задачка
СообщениеДобавлено: 27 фев 2018, 16:03 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
квадрат двузначного числа дает остаток 100 при делении на 101 (101 простое), значит число дает остаток 10 или -10 при делении на 101 ( [math]x^2-100=(x-10)(x+10) \vdots 101[/math] ), то есть оно либо 10 либо 91, четырехзначное даст только 91.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали:
swan
 Заголовок сообщения: Re: Простая задачка
СообщениеДобавлено: 27 фев 2018, 16:07 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, так гораздо быстрее, полнее и соответственно лучше.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Простая задачка
СообщениеДобавлено: 27 фев 2018, 16:15 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 дек 2011, 18:32
Сообщений: 2466
Откуда: Украина, Одесса
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
698 раз в 602 сообщениях
Очков репутации: 186

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Из этого следует, что 10x+y разлагается на сумму квадратов.

Никак не могу понять почему?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Простая задачка
СообщениеДобавлено: 27 фев 2018, 16:24 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Частное двух гауссовых чисел будет также гауссовым
Если число непредставимо в виде суммы квадратов, то простой множитель вида 4k+3 входит в нечетной степени, но тогда он будет входить в нечетной степени и в итоговое произведение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Analitik
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Простая задачка на подкидывание монетки

в форуме Теория вероятностей

VitalyU

4

698

07 апр 2015, 18:24

Логика. Простая числовая задачка

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Eroha

77

796

04 фев 2024, 20:57

Задачка по теор. вероятности, простая, но я не понимаю

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

undervoid

2

397

07 окт 2015, 15:03

Очень простая, но чуть непонятная задачка

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

zoidberx

4

415

19 апр 2016, 03:39

Простая задача

в форуме Алгебра

LEV

5

218

16 дек 2022, 09:55

Простая задача

в форуме Размышления по поводу и без

crazymadman18

6

553

05 июл 2017, 11:14

Простая задача?

в форуме Алгебра

Legolas111

3

649

09 фев 2017, 12:52

Простая кривая

в форуме Интегральное исчисление

Vantabu

1

201

04 янв 2020, 21:09

Простая задача

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

0

693

13 июн 2014, 17:57

Простая задача

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

shelter09

3

574

16 сен 2015, 10:42


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 38


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved