Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать тождество
СообщениеДобавлено: 19 фев 2018, 02:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 сен 2017, 17:02
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый вечер!
Задание следующее:
Докажите, что если
[math](x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=(x+y-2z)^{2}+(y+z-2x)^{2}+(z+x-2y)^{2}[/math], то
[math]x=y=z[/math]
Я решил, разложив в обоих частях тождества слагаемые, в итоге я пришёл к
[math]x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+xz+yz[/math]
Домножил это дело на 2
[math](x^{2}-2xy+y^{2})+(x^{2}-2xz+z^{2})+(y^{2}-2yz+z^{2})=0[/math]
[math](x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(y-z)^{2}=0[/math]
Т.к. все слагаемые во второй степени, значит они >=0. Больше нуля они быть не могут, иначе сумма не будет ровняться нулю, соответственно все три слагаемых равны нулю.
[math]x-y=x-z=y-z=0 => x=y=z[/math]

Но есть ли более лаконичный способ решения?


Последний раз редактировалось nishen 19 фев 2018, 02:57, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать тождество
СообщениеДобавлено: 19 фев 2018, 02:51 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 3268
Cпасибо сказано: 263
Спасибо получено:
417 раз в 407 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
...в обоих частях...))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю sergebsl "Спасибо" сказали:
nishen
 Заголовок сообщения: Re: Доказать тождество
СообщениеДобавлено: 19 фев 2018, 02:58 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 сен 2017, 17:02
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
sergebsl писал(а):
...в обоих частях...))

Прошу прощения. :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать тождество
СообщениеДобавлено: 19 фев 2018, 03:02 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 3268
Cпасибо сказано: 263
Спасибо получено:
417 раз в 407 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не думаю. Ты сделал всё, как надо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать тождество
СообщениеДобавлено: 19 фев 2018, 10:17 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
способ отличный, не уверен нужно ли даже пробовать найти более лаконичный.
Как вариант можно сделать замену [math]a = x - y, b = y - z, c = z - x[/math]
тогда сразу скобки раскрыть легко [math]a^2+b^2+c^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc=0[/math]
Но еще [math]a+b+c=0[/math], значит [math]0=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc + (a+b+c)^2=2a^2+2b^2+2c^2\Rightarrow a=b=c=0\Rightarrow x=y=z[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать тождество
СообщениеДобавлено: 19 фев 2018, 13:19 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть тождество Лагранжа для двух серии из n переменных, каторое для n=3 выглядеть так :
[math](a_{1}^2 + a_{2}^2 + a_{3}^2).(b_{1}^2 + b_{2}^2 + b_{3}^2) = (a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3} )^2 +[/math]
[math](a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1})^2 + (a_{1}b_{3} - a_{3}b_{1})^2 + (a_{2}b_{3} - a_{3}b_{2})^2[/math] ;
Если в него положит [math]a_{1} = x - y, a_{2} = y - z, a_{3} = z - x[/math] и [math]b_{1} = b_{2} = b_{3} = 1[/math] то получим :
[math]((x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2}).3 = (x - y + y - z + z - x)^2 + (x - y - y +z)^2 + (x - y - z+ x)^2 + (y - z -
z +x)^2[/math]
после приведения получаем :
[math]3((x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2}) = 0^2 + (x + y - 2z )^2 + (y + z - 2x)^2 + ( z+ x - 2y)^2[/math], а в Вашей задачу данно что,
[math](x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2} = (x + y - 2z )^2 + (y + z - 2x)^2 + ( z+ x - 2y)^2[/math], но это возможно только если
[math](x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2} = 0[/math], а это с другой стороной возможно только если [math]\boldsymbol{x} = y = z[/math] . Это другое решение задачу , е ли оно более короткое скажите Вы!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать тождество

в форуме Алгебра

Flutt1

1

339

21 сен 2017, 14:12

Доказать тождество

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

huffy

15

1397

08 ноя 2017, 15:32

Доказать тождество

в форуме Алгебра

pavel_itel

1

278

17 дек 2017, 21:26

Доказать тождество

в форуме Алгебра

Smilelan

1

307

26 дек 2017, 14:27

Доказать тождество

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

trigsen

4

277

11 мар 2019, 12:20

Доказать тождество

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

natalykhch

4

425

11 мар 2019, 22:50

Доказать тождество

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Fabianowty

1

515

09 мар 2018, 17:59

Доказать тождество

в форуме Ряды

Serg63

2

213

01 июл 2019, 10:42

Доказать тождество

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

nad27

2

144

03 ноя 2019, 21:48

Доказать тождество

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

matik

3

228

14 янв 2020, 19:49


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 43


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved