Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
nishen |
|
|
Задание следующее: Докажите, что если [math](x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=(x+y-2z)^{2}+(y+z-2x)^{2}+(z+x-2y)^{2}[/math], то [math]x=y=z[/math] Я решил, разложив в обоих частях тождества слагаемые, в итоге я пришёл к [math]x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+xz+yz[/math] Домножил это дело на 2 [math](x^{2}-2xy+y^{2})+(x^{2}-2xz+z^{2})+(y^{2}-2yz+z^{2})=0[/math] [math](x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(y-z)^{2}=0[/math] Т.к. все слагаемые во второй степени, значит они >=0. Больше нуля они быть не могут, иначе сумма не будет ровняться нулю, соответственно все три слагаемых равны нулю. [math]x-y=x-z=y-z=0 => x=y=z[/math] Но есть ли более лаконичный способ решения? Последний раз редактировалось nishen 19 фев 2018, 02:57, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
sergebsl |
|
|
...в обоих частях...))
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю sergebsl "Спасибо" сказали: nishen |
||
nishen |
|
|
sergebsl писал(а): ...в обоих частях...)) Прошу прощения. |
||
Вернуться к началу | ||
sergebsl |
|
|
Не думаю. Ты сделал всё, как надо.
|
||
Вернуться к началу | ||
Slon |
|
|
способ отличный, не уверен нужно ли даже пробовать найти более лаконичный.
Как вариант можно сделать замену [math]a = x - y, b = y - z, c = z - x[/math] тогда сразу скобки раскрыть легко [math]a^2+b^2+c^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc=0[/math] Но еще [math]a+b+c=0[/math], значит [math]0=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc + (a+b+c)^2=2a^2+2b^2+2c^2\Rightarrow a=b=c=0\Rightarrow x=y=z[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
Есть тождество Лагранжа для двух серии из n переменных, каторое для n=3 выглядеть так :
[math](a_{1}^2 + a_{2}^2 + a_{3}^2).(b_{1}^2 + b_{2}^2 + b_{3}^2) = (a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3} )^2 +[/math] [math](a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1})^2 + (a_{1}b_{3} - a_{3}b_{1})^2 + (a_{2}b_{3} - a_{3}b_{2})^2[/math] ; Если в него положит [math]a_{1} = x - y, a_{2} = y - z, a_{3} = z - x[/math] и [math]b_{1} = b_{2} = b_{3} = 1[/math] то получим : [math]((x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2}).3 = (x - y + y - z + z - x)^2 + (x - y - y +z)^2 + (x - y - z+ x)^2 + (y - z - z +x)^2[/math] после приведения получаем : [math]3((x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2}) = 0^2 + (x + y - 2z )^2 + (y + z - 2x)^2 + ( z+ x - 2y)^2[/math], а в Вашей задачу данно что, [math](x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2} = (x + y - 2z )^2 + (y + z - 2x)^2 + ( z+ x - 2y)^2[/math], но это возможно только если [math](x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2} = 0[/math], а это с другой стороной возможно только если [math]\boldsymbol{x} = y = z[/math] . Это другое решение задачу , е ли оно более короткое скажите Вы! |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 6 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать тождество
в форуме Алгебра |
1 |
339 |
21 сен 2017, 14:12 |
|
Доказать тождество | 15 |
1397 |
08 ноя 2017, 15:32 |
|
Доказать тождество
в форуме Алгебра |
1 |
278 |
17 дек 2017, 21:26 |
|
Доказать тождество
в форуме Алгебра |
1 |
307 |
26 дек 2017, 14:27 |
|
Доказать тождество | 4 |
277 |
11 мар 2019, 12:20 |
|
Доказать тождество | 4 |
425 |
11 мар 2019, 22:50 |
|
Доказать тождество | 1 |
515 |
09 мар 2018, 17:59 |
|
Доказать тождество
в форуме Ряды |
2 |
213 |
01 июл 2019, 10:42 |
|
Доказать тождество | 2 |
144 |
03 ноя 2019, 21:48 |
|
Доказать тождество
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
3 |
228 |
14 янв 2020, 19:49 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 28 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |