Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Anatole |
|
|
Наверное, для математиков это несложная стандартная задача. Я специально не выкладываю свое решение, чтобы сохранить интерес. Хотелось бы увидеть решение профессионалов и сравнить с решением любителя, т.е. со своим. |
||
Вернуться к началу | ||
Race |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали: Anatole, Shadows |
||
swan |
|
|
[math]693=9\cdot 7 \cdot 11[/math]
Число с [math]n[/math] одинаковыми цифрами: [math]a\cdot \frac{10^n-1}9[/math] Должно выполняться 3 условия: 1) Из делимости на [math]9[/math]: [math]n \equiv 0 \pmod 3, \,\, a \equiv 0 \pmod 3[/math], либо [math]n \equiv 0 \pmod 9[/math], либо [math]a=9[/math] 2) Так как из [math]10^n-1 \equiv 0 \pmod 7 \ \Rightarrow n\equiv 0 \pmod 6[/math], то либо [math]a=7[/math], либо [math]n=6k[/math] 3) [math]10^n-1 \equiv 0 \pmod {11} \ \Rightarrow n\equiv 0 \pmod 2[/math] Возьмем второе условие. Если [math]a=7[/math], то по первому условию количество цифр делится на [math]9[/math] - уже многовато, да еще и по третьему - четно, т.е. [math]18[/math] цифр. Пусть теперь [math]n=6k[/math]. Тогда автоматом у нас есть делимость на [math]11[/math], а для делимости на [math]9[/math] достаточно потребовать делимости [math]a[/math] на [math]3[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: Anatole, Shadows |
||
Race |
|
|
swan,
так ответ какой?:) разрешите поинтересоваться) |
||
Вернуться к началу | ||
Zatamon |
|
|
Race
Ответ 18 единиц Если число из только единиц делитсмя на 99, то обязательно делится и на 7 |
||
Вернуться к началу | ||
Anatole |
|
|
[math]-[/math] swan
Благодарю за системное решение. К сожалению, нас в школе (в обычном классе) не учили сравнениям по модулю, поэтому мне пришлось рассуждать так: искомое число может быть записано в виде [math]a \cdot 11...11[/math], где [math]a \in \left\{ 0,1,...8,9 \right\}[/math] и в записи числа содержится [math]n[/math] единиц. Число должно делиться на [math]693 = 9 \cdot 7 \cdot 11[/math] Очевидно число не может быть 3-х разрядным. Если [math]n=4[/math], то [math]\frac{ a \cdot 1111 }{ 9 \cdot 7 \cdot 11 } = \frac{ a }{ 9 \cdot 7 } \cdot 101[/math] и здесь очевидно, что 4-х разрядное число не может делиться в силу значений, которые может принимать [math]a[/math] При [math]n=5[/math] имеем [math]\frac{ a \cdot 11111}{ 9 \cdot 7 \cdot 11 }[/math], а такое число не может делиться на [math]11[/math]. Значит , не существует искомого 5-ти разрядного числа. При [math]n = 6[/math] [math]\frac{ a \cdot 111111 }{ 9 \cdot 7 \cdot 11 } = \frac{ a \cdot 10101 }{ 3 \cdot 3 \cdot 7 } = \frac{ a \cdot 3367 }{ 3 \cdot 7 } = \frac{ a }{ 3 } \cdot 481[/math]. Тогда, [math]a_{min} = 3[/math] и искомое число [math]X=333333[/math]. Интересно, что [math]481 = 13 \cdot 37[/math] произведение простых чисел. Скорее всего факт не случайный. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Anatole писал(а): К сожалению, нас в школе (в обычном классе) не учили сравнениям по модулю Школьники оперируют остатками. Доказательство для школьника могло бы выглядеть примерно так. Рассмотрим числа вида 111...11 Возьмем последовательность 1, 11, 111, ... Каждое следующее число можно выписать по формуле [math]a_{n+1}=10\cdot a_n + 1[/math] Если далее рассмотреть последовательность остатков при делении [math]a_n[/math] на произвольное число [math]p[/math], то заметим: 1) эта последовательность остатков - периодическая. Действительно, каждое следующее число зависит только от предыдущего и если есть одно повторение, то это будет повторяться и в дальнейшем. А повторение будет обязательно по принципу Дирихле, поскольку множество остатков ограниченно. Рассмотрим остатки при делении на 7: (начнем с нулевого) 0, 1, 4, 6, 5, 2, 0, 1, 2, ... и так далее Видим, что период этой последовательности равен 6. Значит каждое шестое делится на 6. Аналогично, при делении на 11 делится каждое второе, а при делении на 3 - каждое третье (в двух последних случаях проще может и через признаки делимости) |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: Anatole |
||
swan |
|
|
Race писал(а): swan, так ответ какой?:) разрешите поинтересоваться) Такой же как и у вас )) |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: Race |
||
[ Сообщений: 8 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Трапеция против 9-ти классника
в форуме Геометрия |
10 |
670 |
25 сен 2017, 14:11 |
|
Радикалы против 9-ти классника
в форуме Алгебра |
14 |
682 |
12 ноя 2017, 23:20 |
|
Вписанный 4-х угольник против 9-ти классника
в форуме Геометрия |
5 |
370 |
26 фев 2018, 00:31 |
|
Натуральное число
в форуме Алгебра |
6 |
209 |
23 авг 2019, 23:22 |
|
0-натуральное число
в форуме Размышления по поводу и без |
3 |
431 |
28 мар 2017, 17:48 |
|
Найти натуральное число
в форуме Алгебра |
1 |
212 |
06 янв 2019, 15:24 |
|
Найти натуральное число
в форуме Алгебра |
11 |
388 |
31 дек 2018, 13:18 |
|
Найти наибольшее натуральное число
в форуме Алгебра |
12 |
583 |
13 ноя 2021, 10:41 |
|
Наибольшее натуральное число, удовлетворяющее условию
в форуме Теория чисел |
1 |
384 |
15 фев 2020, 08:26 |
|
Выбрано некоторое натуральное число x. среди следующих | 3 |
304 |
30 сен 2020, 11:54 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |