Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Натуральное число против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 13 фев 2018, 00:07 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 21:28
Сообщений: 2695
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
841 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задачка такая: найти наименьшее натуральное число, которое записывается одинаковыми цифрами и делится на 693.
Наверное, для математиков это несложная стандартная задача. Я специально не выкладываю свое решение, чтобы сохранить интерес.
Хотелось бы увидеть решение профессионалов и сравнить с решением любителя, т.е. со своим. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Натуральное число против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 13 фев 2018, 00:44 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
693=9*7*11

Признак делимости на 9
1-9n раз
2-9n раз
3-3n
4-9n
5-9n
6-3n
7-9n
8-9n
9-1n

Дальше логикой и перебором 333333)
Подозреваю что можно было применить признак делимости на 7 и на 11

33333*3+3=100002=100-2=98/7=14

33*3=99/11=9

Так как 999, 9999, 99999 не подходит, то 333333 наш ответ)))
Но решил бы я без калькулятора - не думаю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Anatole, Shadows
 Заголовок сообщения: Re: Натуральное число против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 13 фев 2018, 08:51 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]693=9\cdot 7 \cdot 11[/math]

Число с [math]n[/math] одинаковыми цифрами: [math]a\cdot \frac{10^n-1}9[/math]

Должно выполняться 3 условия:

1) Из делимости на [math]9[/math]:
[math]n \equiv 0 \pmod 3, \,\, a \equiv 0 \pmod 3[/math],

либо [math]n \equiv 0 \pmod 9[/math],

либо [math]a=9[/math]

2) Так как из [math]10^n-1 \equiv 0 \pmod 7 \ \Rightarrow n\equiv 0 \pmod 6[/math], то либо [math]a=7[/math], либо [math]n=6k[/math]

3) [math]10^n-1 \equiv 0 \pmod {11} \ \Rightarrow n\equiv 0 \pmod 2[/math]

Возьмем второе условие. Если [math]a=7[/math], то по первому условию количество цифр делится на [math]9[/math] - уже многовато, да еще и по третьему - четно, т.е. [math]18[/math] цифр.

Пусть теперь [math]n=6k[/math]. Тогда автоматом у нас есть делимость на [math]11[/math], а для делимости на [math]9[/math] достаточно потребовать делимости [math]a[/math] на [math]3[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Anatole, Shadows
 Заголовок сообщения: Re: Натуральное число против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 13 фев 2018, 09:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan,
так ответ какой?:) разрешите поинтересоваться)

1. Я применил два признака делимости на 7:
1.1. число десятков умноженное на 3 сложил с числом единиц;
1.2. сложил трехгранные грани, учитывая знакопеременность
2. Так же использовал признак делимости на 11, а именно сложил двугранные грани. Из чего сделал вывод, что так как число состоит из одинаковых цифр, то кол-во цифр в нем может быть только четным, 4, 6, 8 и так далее.
3. Проверил числа из 9ток, 999, 9999 и 99999, они отпали.
4. Проверил число из троек и 333333 сразу удовлетворило условию.
5. Остальные цифры кроме 6 и 9 отпали так как для делимости на 9 их должно быть минимум 9 в числе.
6. 666 666 понятное дело тоже удовлетворяет условию, но так как оно больше 333 333 то....

К сожалению с теорий чисел не знаком, потому не могу все грамотно описать, за что заранее извиняюсь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Натуральное число против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 13 фев 2018, 10:17 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
01 дек 2015, 04:09
Сообщений: 245
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
41 раз в 36 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race
Ответ 18 единиц
Если число из только единиц делитсмя на 99, то обязательно делится и на 7

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Натуральное число против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 13 фев 2018, 11:36 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 21:28
Сообщений: 2695
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
841 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]-[/math] swan
Благодарю за системное решение. К сожалению, нас в школе (в обычном классе) не учили сравнениям по модулю, поэтому мне пришлось рассуждать так:

искомое число может быть записано в виде [math]a \cdot 11...11[/math], где [math]a \in \left\{ 0,1,...8,9 \right\}[/math] и в записи числа содержится [math]n[/math] единиц.
Число должно делиться на [math]693 = 9 \cdot 7 \cdot 11[/math]
Очевидно число не может быть 3-х разрядным.

Если [math]n=4[/math], то [math]\frac{ a \cdot 1111 }{ 9 \cdot 7 \cdot 11 } = \frac{ a }{ 9 \cdot 7 } \cdot 101[/math] и здесь очевидно, что 4-х разрядное число не может делиться в силу значений, которые может принимать [math]a[/math]

При [math]n=5[/math] имеем [math]\frac{ a \cdot 11111}{ 9 \cdot 7 \cdot 11 }[/math], а такое число не может делиться на [math]11[/math]. Значит , не существует искомого 5-ти разрядного числа.

При [math]n = 6[/math] [math]\frac{ a \cdot 111111 }{ 9 \cdot 7 \cdot 11 } = \frac{ a \cdot 10101 }{ 3 \cdot 3 \cdot 7 } = \frac{ a \cdot 3367 }{ 3 \cdot 7 } = \frac{ a }{ 3 } \cdot 481[/math].

Тогда, [math]a_{min} = 3[/math] и искомое число [math]X=333333[/math].

Интересно, что [math]481 = 13 \cdot 37[/math] произведение простых чисел. Скорее всего факт не случайный.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Натуральное число против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 13 фев 2018, 13:41 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Anatole писал(а):
К сожалению, нас в школе (в обычном классе) не учили сравнениям по модулю


Школьники оперируют остатками. Доказательство для школьника могло бы выглядеть примерно так.
Рассмотрим числа вида 111...11
Возьмем последовательность 1, 11, 111, ...
Каждое следующее число можно выписать по формуле [math]a_{n+1}=10\cdot a_n + 1[/math]
Если далее рассмотреть последовательность остатков при делении [math]a_n[/math] на произвольное число [math]p[/math], то заметим:
1) эта последовательность остатков - периодическая.
Действительно, каждое следующее число зависит только от предыдущего и если есть одно повторение, то это будет повторяться и в дальнейшем. А повторение будет обязательно по принципу Дирихле, поскольку множество остатков ограниченно.

Рассмотрим остатки при делении на 7: (начнем с нулевого)
0, 1, 4, 6, 5, 2, 0, 1, 2, ... и так далее
Видим, что период этой последовательности равен 6. Значит каждое шестое делится на 6.
Аналогично, при делении на 11 делится каждое второе, а при делении на 3 - каждое третье (в двух последних случаях проще может и через признаки делимости)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Anatole
 Заголовок сообщения: Re: Натуральное число против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 13 фев 2018, 13:42 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race писал(а):
swan,
так ответ какой?:) разрешите поинтересоваться)


Такой же как и у вас ))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Race
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Трапеция против 9-ти классника

в форуме Геометрия

Anatole

10

670

25 сен 2017, 14:11

Радикалы против 9-ти классника

в форуме Алгебра

Anatole

14

682

12 ноя 2017, 23:20

Вписанный 4-х угольник против 9-ти классника

в форуме Геометрия

Anatole

5

370

26 фев 2018, 00:31

Натуральное число

в форуме Алгебра

Musulmanin

6

209

23 авг 2019, 23:22

0-натуральное число

в форуме Размышления по поводу и без

Error398

3

431

28 мар 2017, 17:48

Найти натуральное число

в форуме Алгебра

NickNesli

1

212

06 янв 2019, 15:24

Найти натуральное число

в форуме Алгебра

NickNesli

11

388

31 дек 2018, 13:18

Найти наибольшее натуральное число

в форуме Алгебра

dikarka2004

12

583

13 ноя 2021, 10:41

Наибольшее натуральное число, удовлетворяющее условию

в форуме Теория чисел

irina6688

1

384

15 фев 2020, 08:26

Выбрано некоторое натуральное число x. среди следующих

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

tanyhaftv

3

304

30 сен 2020, 11:54


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved