Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 00:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 июл 2017, 16:17
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
дано: x,y,z>0
xyz=1
(1/x)+(1/y)+(1/z) ⩾x+y+z
надо доказать что для любого натурального k верно нер-во:
(1/x)^k+(1/y)^k+(1/z)^k ⩾x^k+y^k+z^k
Помогите это доказать индукцией по k

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 11:54 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10931
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 948
Спасибо получено:
3221 раз в 2813 сообщениях
Очков репутации: 628

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А причем тут индукция? Первые три условия однозначно приводят к x=y=z=1. Ну, а в последнем вопросе - при любом k ,будет строгое равенство.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 12:17 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3771
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
803 раз в 729 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
А причем тут индукция? Первые три условия однозначно приводят к x=y=z=1.

[math]x=y=2[/math], [math]z=0.25[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 12:25 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 796
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
233 раз в 219 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
А причем тут индукция? Первые три условия однозначно приводят к x=y=z=1. Ну, а в последнем вопросе - при любом k ,будет строгое равенство.

Ну почему однозначно!?
Если скажем, [math]\boldsymbol{x} = 2[/math] , [math]\boldsymbol{y} = \frac{ 1 }{ 2 }[/math], [math]\boldsymbol{z} = 1[/math] то первые три условия не выпольнены ?!
1) [math]\boldsymbol{x} > 0[/math] , [math]\boldsymbol{y} > 0[/math], [math]\boldsymbol{z} > 0[/math] ;
2) [math]\boldsymbol{xyz} = 2.\frac{ 1 }{ 2 }.1[/math] = [math]\boldsymbol{1}[/math] ;
3) [math]\boldsymbol{\frac{ 1 }{ x } }[/math] +[math]\boldsymbol{\frac{ 1 }{ y } }[/math] + [math]\boldsymbol{\frac{ 1 }{z} }[/math] [math]\geqslant[/math] [math]\boldsymbol{x + y + z}[/math] !
И почему строгое !? Если возмем Ваше решение х=у=z =1, то разве не будеть
[math]\frac{ 1 }{ x^{k} }[/math] + [math]\frac{ 1 }{ y^{k} }[/math] + [math]\frac{ 1 }{ z^{k} }[/math] = [math]\boldsymbol{x^{k} + y^{k} + z^{k} }[/math] ?!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 13:54 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 20:46
Сообщений: 1012
Cпасибо сказано: 73
Спасибо получено:
393 раз в 310 сообщениях
Очков репутации: 137

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Из условия следует

[math]\left(x-\frac 1 y\right)\left(y-\frac 1 z\right)\left(z-\frac 1 x\right) \ge 0[/math]

а у [math]\left(x^k-\frac {1} {y^k}\right)[/math] такой же знак, как и у [math]\left(x-\frac 1 y\right)[/math]

...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 14:26 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 796
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
233 раз в 219 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
Из условия следует

[math]\left(x-\frac 1 y\right)\left(y-\frac 1 z\right)\left(z-\frac 1 x\right) \ge 0[/math]

а у [math]\left(x^k-\frac {1} {y^k}\right)[/math] такой же знак, как и у [math]\left(x-\frac 1 y\right)[/math]

...


Это верно, но все таки где же математическая индукция?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 14:43 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 20:46
Сообщений: 1012
Cпасибо сказано: 73
Спасибо получено:
393 раз в 310 сообщениях
Очков репутации: 137

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
А причем тут индукция?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 15:00 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 2291
Cпасибо сказано: 58
Спасибо получено:
752 раз в 698 сообщениях
Очков репутации: 113

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
Shadows писал(а):
Из условия следует

[math]\left(x-\frac 1 y\right)\left(y-\frac 1 z\right)\left(z-\frac 1 x\right) \ge 0[/math]

а у [math]\left(x^k-\frac {1} {y^k}\right)[/math] такой же знак, как и у [math]\left(x-\frac 1 y\right)[/math]

...


Это верно, но все таки где же математическая индукция?


а у [math]\left(x^k-\frac {1} {y^k}\right)[/math] такой же знак, как и у [math]\left(x-\frac 1 y\right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 15:03 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 16296
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1125
Спасибо получено:
3568 раз в 3295 сообщениях
Очков репутации: 675

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Первые три условия однозначно приводят к x=y=z=1.

А если подумать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 15:27 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 796
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
233 раз в 219 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
Avgust писал(а):
А причем тут индукция?

В условие задачи, поставлено условие :), не только доказать неравенство, но и доказать используя индукция!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Неравенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

SIDODGI

7

482

19 дек 2013, 01:32

Неравенство

в форуме Алгебра

kicultanya

5

173

27 ноя 2016, 11:04

Неравенство

в форуме Алгебра

photographer

1

88

13 ноя 2016, 19:48

Неравенство

в форуме Тригонометрия

Mobile

1

160

26 апр 2015, 01:50

Неравенство

в форуме Алгебра

nicat

7

180

27 апр 2015, 15:17

Неравенство

в форуме Алгебра

VikaDasha

10

582

10 сен 2013, 20:44

Неравенство

в форуме Алгебра

VikaDasha

5

433

09 сен 2013, 17:54

Неравенство

в форуме Алгебра

pooroh

2

91

14 окт 2016, 21:20

Неравенство

в форуме Алгебра

kucher

8

174

12 окт 2016, 21:22

Неравенство tg(x)

в форуме Тригонометрия

DeD

3

167

05 окт 2016, 15:39


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alexa [Bot] и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved