Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Неравенство
СообщениеДобавлено: 15 янв 2018, 23:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 июл 2017, 15:17
Сообщений: 22
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
дано: x,y,z>0
xyz=1
(1/x)+(1/y)+(1/z) ⩾x+y+z
надо доказать что для любого натурального k верно нер-во:
(1/x)^k+(1/y)^k+(1/z)^k ⩾x^k+y^k+z^k
Помогите это доказать индукцией по k

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 10:54 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А причем тут индукция? Первые три условия однозначно приводят к x=y=z=1. Ну, а в последнем вопросе - при любом k ,будет строгое равенство.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 11:17 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4007
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
857 раз в 779 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
А причем тут индукция? Первые три условия однозначно приводят к x=y=z=1.

[math]x=y=2[/math], [math]z=0.25[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 11:25 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 1195
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
346 раз в 332 сообщениях
Очков репутации: 82

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
А причем тут индукция? Первые три условия однозначно приводят к x=y=z=1. Ну, а в последнем вопросе - при любом k ,будет строгое равенство.

Ну почему однозначно!?
Если скажем, [math]\boldsymbol{x} = 2[/math] , [math]\boldsymbol{y} = \frac{ 1 }{ 2 }[/math], [math]\boldsymbol{z} = 1[/math] то первые три условия не выпольнены ?!
1) [math]\boldsymbol{x} > 0[/math] , [math]\boldsymbol{y} > 0[/math], [math]\boldsymbol{z} > 0[/math] ;
2) [math]\boldsymbol{xyz} = 2.\frac{ 1 }{ 2 }.1[/math] = [math]\boldsymbol{1}[/math] ;
3) [math]\boldsymbol{\frac{ 1 }{ x } }[/math] +[math]\boldsymbol{\frac{ 1 }{ y } }[/math] + [math]\boldsymbol{\frac{ 1 }{z} }[/math] [math]\geqslant[/math] [math]\boldsymbol{x + y + z}[/math] !
И почему строгое !? Если возмем Ваше решение х=у=z =1, то разве не будеть
[math]\frac{ 1 }{ x^{k} }[/math] + [math]\frac{ 1 }{ y^{k} }[/math] + [math]\frac{ 1 }{ z^{k} }[/math] = [math]\boldsymbol{x^{k} + y^{k} + z^{k} }[/math] ?!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 12:54 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1048
Cпасибо сказано: 75
Спасибо получено:
410 раз в 323 сообщениях
Очков репутации: 138

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Из условия следует

[math]\left(x-\frac 1 y\right)\left(y-\frac 1 z\right)\left(z-\frac 1 x\right) \ge 0[/math]

а у [math]\left(x^k-\frac {1} {y^k}\right)[/math] такой же знак, как и у [math]\left(x-\frac 1 y\right)[/math]

...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 13:26 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 1195
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
346 раз в 332 сообщениях
Очков репутации: 82

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
Из условия следует

[math]\left(x-\frac 1 y\right)\left(y-\frac 1 z\right)\left(z-\frac 1 x\right) \ge 0[/math]

а у [math]\left(x^k-\frac {1} {y^k}\right)[/math] такой же знак, как и у [math]\left(x-\frac 1 y\right)[/math]

...


Это верно, но все таки где же математическая индукция?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 13:43 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1048
Cпасибо сказано: 75
Спасибо получено:
410 раз в 323 сообщениях
Очков репутации: 138

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
А причем тут индукция?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 14:00 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 2950
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
983 раз в 910 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
Shadows писал(а):
Из условия следует

[math]\left(x-\frac 1 y\right)\left(y-\frac 1 z\right)\left(z-\frac 1 x\right) \ge 0[/math]

а у [math]\left(x^k-\frac {1} {y^k}\right)[/math] такой же знак, как и у [math]\left(x-\frac 1 y\right)[/math]

...


Это верно, но все таки где же математическая индукция?


а у [math]\left(x^k-\frac {1} {y^k}\right)[/math] такой же знак, как и у [math]\left(x-\frac 1 y\right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 14:03 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 17632
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1228
Спасибо получено:
3765 раз в 3485 сообщениях
Очков репутации: 712

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Первые три условия однозначно приводят к x=y=z=1.

А если подумать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 янв 2018, 14:27 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 1195
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
346 раз в 332 сообщениях
Очков репутации: 82

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
Avgust писал(а):
А причем тут индукция?

В условие задачи, поставлено условие :), не только доказать неравенство, но и доказать используя индукция!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Неравенство

в форуме Алгебра

Kristinadefa

1

121

06 май 2015, 17:45

Неравенство

в форуме Алгебра

Mobile

7

206

22 мар 2015, 00:30

Неравенство

в форуме Алгебра

Maxim2222

15

452

20 мар 2015, 21:33

Неравенство

в форуме Ряды

qwerty

1

230

10 дек 2014, 12:16

Неравенство

в форуме Алгебра

Maxim2705

7

148

21 дек 2015, 19:56

Неравенство неравенство

в форуме Алгебра

FoReVer_17

3

446

06 дек 2014, 09:31

Неравенство

в форуме Тригонометрия

slog

1

139

12 май 2017, 18:33

Неравенство 15

в форуме Алгебра

kicultanya

4

148

03 апр 2017, 17:14

Неравенство

в форуме Алгебра

Bonaqua

4

223

07 ноя 2014, 23:54

Неравенство

в форуме Алгебра

kicultanya

8

201

26 июн 2016, 11:00


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved