Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Метод множителей Лагранжа
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=57623
Страница 1 из 2

Автор:  DanyaRRRR [ 01 янв 2018, 01:39 ]
Заголовок сообщения:  Метод множителей Лагранжа

Кто-нибудь, объясните как доказать данное неравенство с помощью метода множителей Лагранжа
Известно: (a^2)+(b^2)+(c^2)=1
Доказать:
a/(1+(a^2))+b/(1+(b^2))+c/(1+(c^2))=<(3sqrt(3))/4

Автор:  sergebsl [ 01 янв 2018, 01:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод множителей Лагранжа

Что Вы знаете об этом методе Лагранжа?

Автор:  DanyaRRRR [ 01 янв 2018, 03:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод множителей Лагранжа

http://kvant.mccme.ru/pdf/2015/2015-56s.pdf
В этом журнале статью прочитал, но для меня в нем концовка расплывчато понятна, поэтому хотел бы чтобы на другом примере объяснили

Автор:  sergebsl [ 01 янв 2018, 10:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод множителей Лагранжа

этот метод используется при анализе многозначных функций. Он отыскивает условный экстремум функции многих переменных в пределах заданной области аргументов функции. В частности используется в задачах нелинейной оптимизации- поиск экстремумов ФНП на определённой области.

Конкретно в твоей задаче у тебя надо найти на максимум функции

[math]f\left( a, b, c \right) = \frac{ a }{ 1+a^2 } + \frac{ b}{ 1+b^2 }+\frac{ c }{ 1+c^2 }[/math]

на сфере [math]a^2 + b^2 + c^2 = 1[/math] с единичным радиусом.

Автор:  sergebsl [ 01 янв 2018, 10:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод множителей Лагранжа

Ну вот, первое, что на глаза попалось:

http://mathprofi.ru/uslovnye_extremumy.html

http://math1.ru/education/funct_sev_var/lagranj.html

Автор:  sergebsl [ 01 янв 2018, 10:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод множителей Лагранжа

Есть возможность вычислить экстремум в Вольфрам-Альфа:

случай для двух переменных:

Maximize

случай для трёх переменных:

Максимизация здеся

Автор:  sergebsl [ 01 янв 2018, 10:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод множителей Лагранжа

Учебная литература по матанализу.
Смотри том 1, §8.11 стр 450

http://www.alleng.ru/d/math-stud/math-st223.htm

Автор:  searcher [ 02 янв 2018, 12:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод множителей Лагранжа

DanyaRRRR писал(а):
поэтому хотел бы чтобы на другом примере объяснили

Откуда задача? После того, как найдёте частные производные функции Лагранжа, выразите [math]\lambda[/math]. Из первого уравнения через [math]a[/math], из второго уравнения через [math]b[/math], из третьего через [math]c[/math]. Выражения эти задаются одинаковыми функциями, причём монотонными для [math]a<=1,b<=1,c<=1[/math]. Отсюда следует, что в точке экстремума [math]a=b=c[/math].

Автор:  dr Watson [ 02 янв 2018, 13:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод множителей Лагранжа

searcher писал(а):
Отсюда следует, что в точке экстремума [math]a=b=c[/math].

Не следует и даже неверно. По Вашему максимум в точке [math]\left(\frac1{\sqrt3}; \frac1{\sqrt3};\frac1{\sqrt3}\right),[/math] а в точке [math](1;0;0)[/math] значение больше.

Автор:  searcher [ 02 янв 2018, 13:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод множителей Лагранжа

dr Watson писал(а):
Не следует и даже неверно. По Вашему максимум в точке [math]\left(\frac1{\sqrt3}; \frac1{\sqrt3};\frac1{\sqrt3}\right),[/math] а в точке [math](1;0;0)[/math] значение больше.

Я всё решение не стал выписывать, оставляя продумать мелочи топик-стартеру. Конечно, случай, когда [math]a=0[/math] или [math]b=0[/math] или [math]c=0[/math] надо рассмотреть отдельно. Но мы интересуемся максимумом.
dr Watson писал(а):
а в точке [math](1;0;0)[/math] значение больше.

Этот момент не понял.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/