Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сложение и умножение иррациональных чисел
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 11:33 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 12:08
Сообщений: 53
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
3 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приветствую

Увидел задачку (и решение):
Доказать, что [math]a \times (\sqrt[3]{a})^{2} + b \times \sqrt[3]{2} + c \ne 0[/math] при любых рациональных a, b, c

Решение в одну строчку через поле рациональных чисел.
Но хотелось решить в лоб, по школьному, т.е. по сути приведённая выше формула квадратного уравнения с одним из корней равным [math]\sqrt[3]{2}[/math]

Сначала попробовал решить просто как квадратное уравнение - после сокращения гигантских записей особой ясности формула не приносит (ну для моего уровня понимания), кроме того, что [math]a = 0[/math]

Тогда подошел с другой стороны - использовал теорему Виета, стало попроще

[math]\sqrt[3]{2} + x_{2} = -p[/math]
[math]\sqrt[n]{3} \times x_{2} = q[/math]

где p и q рациональные числа ([math]p = \frac{ b }{ a }[/math], [math]q = \frac{ c }{ a }[/math]

теперь надо просто доказать, что эти 2 уравнения никогда не выполнятся

Вопрос такой:

обязательно ли для того, чтобы сумма двух иррациональных чисел была рациональным, причем одно из чисел - корень, то и второе должно быть корнем той же степени?

если так, то тогда все более-менее легко доказывается

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложение и умножение иррациональных чисел
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 13:08 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 17092
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1166
Спасибо получено:
3672 раз в 3398 сообщениях
Очков репутации: 699

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Fireman
Если, например, [math]a=b=c=0 \in \mathbb{Q},[/math] то утверждение ложно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложение и умножение иррациональных чисел
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 13:09 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 1162
Cпасибо сказано: 77
Спасибо получено:
207 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А какое квадратное уравнение вы решали? Или у вас ошибка в условии?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложение и умножение иррациональных чисел
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 13:22 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 12:08
Сообщений: 53
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
3 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
Fireman
Если, например, [math]a=b=c=0 \in \mathbb{Q},[/math] то утверждение ложно.

ну тривиальный случай конечно не рассматривается

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложение и умножение иррациональных чисел
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 13:26 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 12:08
Сообщений: 53
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
3 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
А какое квадратное уравнение вы решали? Или у вас ошибка в условии?


квадратное уравнение ax^2 + bx + c = 0, где p и q - рациональные числа

x = (-b +- sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a = sqrt3(2)

и пытался посмотреть какие-то зависимости, которые укажут на то, что получившееся уравнение никак не может быть разрешено в рациональных a,b,c (за исключением тривиального случая, когда a,b,c=0)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложение и умножение иррациональных чисел
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 13:34 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 1162
Cпасибо сказано: 77
Спасибо получено:
207 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Т.е. в условии всё-таки ошибка?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сложение и умножение вероятностей

в форуме Теория вероятностей

LeBrondoter

4

432

22 сен 2012, 06:21

Сложение и умножение вероятностей

в форуме Теория вероятностей

Wersel

1

389

18 апр 2013, 01:48

Сложение, вычитание и умножение матриц

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

afraumar

3

252

23 сен 2014, 12:20

Сложение или умножение значений в маткаде попарно

в форуме MathCad

markvolkov

2

337

14 фев 2015, 16:11

Умножение комплексных чисел

в форуме MathCad

artterrm

7

511

04 янв 2014, 05:23

Множество иррациональных чисел

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Extrawelt

5

153

08 янв 2018, 20:32

Умножение комплексных чисел и возведение в степень

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Gavin

8

366

11 фев 2014, 19:33

Сумма иррациональных чисел. Ошибка в рассуждении

в форуме Теория чисел

polosaty

7

417

27 май 2015, 01:55

Почему иррациональных чисел больше, чем рациональных?

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Olegika

3

87

03 сен 2018, 08:44

Унарное умножение двух чисел для машины Тьюринга

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Bozza

1

222

20 дек 2016, 21:02


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved