Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Тождественное неравенство
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=57346
Страница 1 из 2

Автор:  Claudia [ 18 дек 2017, 09:44 ]
Заголовок сообщения:  Тождественное неравенство

Здраствуйте.
Подскажите, пожалуйста, как доказать неравенство [math]a+\sqrt{a^2+b^2} \geqslant 0[/math] при любых вещественных [math]a[/math] и [math]b[/math].
Голову уже сломала. С виду-то неравенство простое. Но затупила.

Автор:  dr Watson [ 18 дек 2017, 10:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тождественное неравенство

Что будет, если отбросить [math]b[/math]?

Автор:  Claudia [ 18 дек 2017, 10:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тождественное неравенство

dr Watson писал(а):
Что будет, если отбросить [math]b[/math]?
dr Watson
Спасибо за наводку. Да, я понимаю, что Вы имеете в виду.
Но ведь просто взять и отбросить член, да ещё из под знака радикала - это ведь произвол?
Можно как-то это оформить строго?

Автор:  dr Watson [ 18 дек 2017, 10:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тождественное неравенство

Все наши действия - это произвол. Надо следить, что происходит в результате одного или последовательности произволов. В Вашем случае надо проследить как изменится левая часть неравенства и чему она станет равна в результате указанного произвола.

Бросая в воду камешки, наблюдай круги имя образуемые, иначе твоё занятие будет пустой забавой. (Козьма Прутков)

Автор:  yasya__shalamova [ 18 дек 2017, 11:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тождественное неравенство

раскиньте по разным сторонам корень и a. Потом обе части в квадрат. a сократятся.

Автор:  Claudia [ 18 дек 2017, 11:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тождественное неравенство

yasya__shalamova
Но ведь возведение обеих частей неравенства в квадрат - это ведь не равносильное преобразование. Где же здесь строгое доказательство?

Автор:  searcher [ 18 дек 2017, 12:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тождественное неравенство

Claudia писал(а):
Но ведь возведение обеих частей неравенства в квадрат - это ведь не равносильное преобразование. Где же здесь строгое доказательство?

Оно будет равносильным, если а отрицательно. Если нет, то неравенство очевидно.

Автор:  Claudia [ 18 дек 2017, 12:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тождественное неравенство

searcher писал(а):
Оно будет равносильным, если а отрицательно. Если нет, то неравенство очевидно.
searcher
Я правильно поняла ход Ваших мыслей?
Итак, [math]a+\sqrt{a^2+b^2} \geqslant 0[/math]
[math]\sqrt{a^2+b^2} \geqslant -a[/math].
Теперь видно, что если[math]a \geqslant 0[/math], то истинность неравенства очевидна, а если [math]a < 0[/math], то обе части неравенства неотрицательны, и их можно возвести в квадрат с простым доказательством.
Так?

Автор:  dr Watson [ 18 дек 2017, 12:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тождественное неравенство

Ну что же, до сих пор на том же месте? Спрошу конкретно:
При отбрасывании [math]b[/math] левая часть неравенства
а) увеличится
б) не изменится
в) уменьшится

PS. Возведение в квадрат - не равносильное преобразование, да. Тем не менее его вдумчиво используют.
Можно (если осторожно) и здесь, но вообще-то здесь всё гора-а-аздо проще.

PPS. Отправил и ушёл, а оно висит до сих пор, уже целую серию посмотрел ...

Автор:  Race [ 18 дек 2017, 13:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тождественное неравенство

[math]a+\sqrt{a^{2} } \geqslant 0[/math]
[math]a+\left| a \right| \geqslant 0, a < 0 => a-a \geqslant 0, 0=0; a \geqslant 0 \Rightarrow a+a=2a \geqslant 0[/math]
Осталось доказать что:
[math]a+\sqrt{a^{2}+b^{2} } \geqslant a+\sqrt{a^{2} }[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/