Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Тождественное неравенство http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=57346 |
Страница 1 из 2 |
Автор: | Claudia [ 18 дек 2017, 09:44 ] |
Заголовок сообщения: | Тождественное неравенство |
Здраствуйте. Подскажите, пожалуйста, как доказать неравенство [math]a+\sqrt{a^2+b^2} \geqslant 0[/math] при любых вещественных [math]a[/math] и [math]b[/math]. Голову уже сломала. С виду-то неравенство простое. Но затупила. |
Автор: | dr Watson [ 18 дек 2017, 10:04 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Тождественное неравенство |
Что будет, если отбросить [math]b[/math]? |
Автор: | Claudia [ 18 дек 2017, 10:32 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Тождественное неравенство |
dr Watson писал(а): Что будет, если отбросить [math]b[/math]? dr WatsonСпасибо за наводку. Да, я понимаю, что Вы имеете в виду. Но ведь просто взять и отбросить член, да ещё из под знака радикала - это ведь произвол? Можно как-то это оформить строго? |
Автор: | dr Watson [ 18 дек 2017, 10:53 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Тождественное неравенство |
Все наши действия - это произвол. Надо следить, что происходит в результате одного или последовательности произволов. В Вашем случае надо проследить как изменится левая часть неравенства и чему она станет равна в результате указанного произвола. Бросая в воду камешки, наблюдай круги имя образуемые, иначе твоё занятие будет пустой забавой. (Козьма Прутков) |
Автор: | yasya__shalamova [ 18 дек 2017, 11:38 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Тождественное неравенство |
раскиньте по разным сторонам корень и a. Потом обе части в квадрат. a сократятся. |
Автор: | Claudia [ 18 дек 2017, 11:55 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Тождественное неравенство |
yasya__shalamova Но ведь возведение обеих частей неравенства в квадрат - это ведь не равносильное преобразование. Где же здесь строгое доказательство? |
Автор: | searcher [ 18 дек 2017, 12:11 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Тождественное неравенство |
Claudia писал(а): Но ведь возведение обеих частей неравенства в квадрат - это ведь не равносильное преобразование. Где же здесь строгое доказательство? Оно будет равносильным, если а отрицательно. Если нет, то неравенство очевидно. |
Автор: | Claudia [ 18 дек 2017, 12:45 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Тождественное неравенство |
searcher писал(а): Оно будет равносильным, если а отрицательно. Если нет, то неравенство очевидно. searcherЯ правильно поняла ход Ваших мыслей? Итак, [math]a+\sqrt{a^2+b^2} \geqslant 0[/math] [math]\sqrt{a^2+b^2} \geqslant -a[/math]. Теперь видно, что если[math]a \geqslant 0[/math], то истинность неравенства очевидна, а если [math]a < 0[/math], то обе части неравенства неотрицательны, и их можно возвести в квадрат с простым доказательством. Так? |
Автор: | dr Watson [ 18 дек 2017, 12:50 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Тождественное неравенство |
Ну что же, до сих пор на том же месте? Спрошу конкретно: При отбрасывании [math]b[/math] левая часть неравенства а) увеличится б) не изменится в) уменьшится PS. Возведение в квадрат - не равносильное преобразование, да. Тем не менее его вдумчиво используют. Можно (если осторожно) и здесь, но вообще-то здесь всё гора-а-аздо проще. PPS. Отправил и ушёл, а оно висит до сих пор, уже целую серию посмотрел ... |
Автор: | Race [ 18 дек 2017, 13:01 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Тождественное неравенство |
[math]a+\sqrt{a^{2} } \geqslant 0[/math] [math]a+\left| a \right| \geqslant 0, a < 0 => a-a \geqslant 0, 0=0; a \geqslant 0 \Rightarrow a+a=2a \geqslant 0[/math] Осталось доказать что: [math]a+\sqrt{a^{2}+b^{2} } \geqslant a+\sqrt{a^{2} }[/math] |
Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |