Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Тождественное неравенство
СообщениеДобавлено: 18 дек 2017, 10:44 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
04 июн 2017, 12:00
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 58
Спасибо получено:
9 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здраствуйте.
Подскажите, пожалуйста, как доказать неравенство [math]a+\sqrt{a^2+b^2} \geqslant 0[/math] при любых вещественных [math]a[/math] и [math]b[/math].
Голову уже сломала. С виду-то неравенство простое. Но затупила.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тождественное неравенство
СообщениеДобавлено: 18 дек 2017, 11:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 12:15
Сообщений: 2203
Cпасибо сказано: 82
Спасибо получено:
732 раз в 578 сообщениях
Очков репутации: 187

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что будет, если отбросить [math]b[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
Claudia
 Заголовок сообщения: Re: Тождественное неравенство
СообщениеДобавлено: 18 дек 2017, 11:32 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
04 июн 2017, 12:00
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 58
Спасибо получено:
9 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson писал(а):
Что будет, если отбросить [math]b[/math]?
dr Watson
Спасибо за наводку. Да, я понимаю, что Вы имеете в виду.
Но ведь просто взять и отбросить член, да ещё из под знака радикала - это ведь произвол?
Можно как-то это оформить строго?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тождественное неравенство
СообщениеДобавлено: 18 дек 2017, 11:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 12:15
Сообщений: 2203
Cпасибо сказано: 82
Спасибо получено:
732 раз в 578 сообщениях
Очков репутации: 187

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Все наши действия - это произвол. Надо следить, что происходит в результате одного или последовательности произволов. В Вашем случае надо проследить как изменится левая часть неравенства и чему она станет равна в результате указанного произвола.

Бросая в воду камешки, наблюдай круги имя образуемые, иначе твоё занятие будет пустой забавой. (Козьма Прутков)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тождественное неравенство
СообщениеДобавлено: 18 дек 2017, 12:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 дек 2017, 12:34
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
раскиньте по разным сторонам корень и a. Потом обе части в квадрат. a сократятся.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тождественное неравенство
СообщениеДобавлено: 18 дек 2017, 12:55 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
04 июн 2017, 12:00
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 58
Спасибо получено:
9 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
yasya__shalamova
Но ведь возведение обеих частей неравенства в квадрат - это ведь не равносильное преобразование. Где же здесь строгое доказательство?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тождественное неравенство
СообщениеДобавлено: 18 дек 2017, 13:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3895
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
580 раз в 550 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Claudia писал(а):
Но ведь возведение обеих частей неравенства в квадрат - это ведь не равносильное преобразование. Где же здесь строгое доказательство?

Оно будет равносильным, если а отрицательно. Если нет, то неравенство очевидно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тождественное неравенство
СообщениеДобавлено: 18 дек 2017, 13:45 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
04 июн 2017, 12:00
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 58
Спасибо получено:
9 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Оно будет равносильным, если а отрицательно. Если нет, то неравенство очевидно.
searcher
Я правильно поняла ход Ваших мыслей?
Итак, [math]a+\sqrt{a^2+b^2} \geqslant 0[/math]
[math]\sqrt{a^2+b^2} \geqslant -a[/math].
Теперь видно, что если[math]a \geqslant 0[/math], то истинность неравенства очевидна, а если [math]a < 0[/math], то обе части неравенства неотрицательны, и их можно возвести в квадрат с простым доказательством.
Так?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тождественное неравенство
СообщениеДобавлено: 18 дек 2017, 13:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 12:15
Сообщений: 2203
Cпасибо сказано: 82
Спасибо получено:
732 раз в 578 сообщениях
Очков репутации: 187

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну что же, до сих пор на том же месте? Спрошу конкретно:
При отбрасывании [math]b[/math] левая часть неравенства
а) увеличится
б) не изменится
в) уменьшится

PS. Возведение в квадрат - не равносильное преобразование, да. Тем не менее его вдумчиво используют.
Можно (если осторожно) и здесь, но вообще-то здесь всё гора-а-аздо проще.

PPS. Отправил и ушёл, а оно висит до сих пор, уже целую серию посмотрел ...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тождественное неравенство
СообщениеДобавлено: 18 дек 2017, 14:01 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 1350
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]a+\sqrt{a^{2} } \geqslant 0[/math]
[math]a+\left| a \right| \geqslant 0, a < 0 => a-a \geqslant 0, 0=0; a \geqslant 0 \Rightarrow a+a=2a \geqslant 0[/math]
Осталось доказать что:
[math]a+\sqrt{a^{2}+b^{2} } \geqslant a+\sqrt{a^{2} }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Неравенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

nicat

11

433

16 апр 2015, 06:26

Неравенство

в форуме Алгебра

Aqromim

2

126

09 ноя 2017, 22:25

Неравенство

в форуме Алгебра

Hankrill

2

69

06 ноя 2017, 20:37

Неравенство

в форуме Алгебра

Hankrill

5

83

06 ноя 2017, 20:31

Неравенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

katya_mathematics

5

180

27 ноя 2016, 19:39

Неравенство

в форуме Алгебра

nastya_2801

7

108

30 окт 2017, 19:17

Неравенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

nicat

3

266

05 апр 2015, 12:03

Неравенство

в форуме Алгебра

Mobile

7

205

22 мар 2015, 01:30

Неравенство

в форуме Алгебра

Maxim2222

15

434

20 мар 2015, 22:33

Неравенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

nicat

2

255

19 апр 2015, 22:53


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved