Математический форум Math Help Planet

Добрый день.
Помогите доказать следующее свойство треугольника Паскаля: берем строку, предшествующую той строке, где номер строки простое число (например, 10-я строка предшествует 11-й). Ко всем коэффициентам 10-й строки, кроме первого и последнего, стоящим на четных местах, прибавляем 1, а из всех коэффициентов, стоящих на нечетных местах, вычитаем 1. Все получившееся числа будут делиться на 11 (на номер следующей строки, который является простым числом).

На примере 10 строки треугольника Паскаля. Имеем исходные значения:
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

В соответствии с вышеописанным правилом вычитаем и прибавляем 1 из всех значений, кроме первого и последнего:
11 44 121 209 253 209 121 44 11 - каждое из этих чисел делится на 11.

Помогите доказать в общем виде, это кажется достаточно простым, но доказательство пока не складывается, возможно уже есть готовое решение.

На всякий случай прикладываю ссылку на первые строки треугольника Паскаля: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/49/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%9F%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F.svg

Очень интересно! Нужно доказать, что для простых [math]n\ge 5 \,[/math] и [math]\,\,\, 1 \le k \le n-2[/math]:

[math]a_{n,k}= \frac 1n \bigg [\frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-1-k)!} +(-1)^{k+1}\bigg ][/math]

будем иметь целочисленные результаты. Пример в системе Maple:


Известная, в общем последовательность: http://oeis.org/A219539