Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решение неравенства( зад. 5470 математика в школе 6/2016)
СообщениеДобавлено: 12 окт 2017, 15:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
5 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У кого есть журнал "математика в школе 1/2017г" - можте скинут на trtanev@abv.bg решении зад. 5470 ?
У кого нет - условие задачи :
Если a>0, b>0, c>0 и abc=1 то докажите неравенства

a + b + c + 3/(ab + bc +ca) [math]\geqslant[/math] 4

Кто может - изложите решение это неравенства здесь!

Заранее спосибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение неравенства( зад. 5470 математика в школе 6/2016)
СообщениеДобавлено: 12 окт 2017, 20:13 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 770
Cпасибо сказано: 46
Спасибо получено:
134 раз в 124 сообщениях
Очков репутации: 25

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Попробуйте применить неравенства между средним арифметическим, средним геометрическим и средним гармоническим 3-х чисел.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение неравенства( зад. 5470 математика в школе 6/2016)
СообщениеДобавлено: 13 окт 2017, 00:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10133
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3094 раз в 2697 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача легко решается средствами дифференциального исчисления.
Достаточно найти экстремум функции

[math]z=a+b+\frac{1}{ab}+\frac{3}{\frac 1a+\frac 1b+ab}[/math]

Решаем систему, приравнивая нулю производные:

[math]z'_a=1-\frac{1}{a^2 b}-\frac{3b-\frac{3}{a^2}}{\left (\frac 1a+\frac 1b+ab \right )^2}=0[/math]

[math]z'_b=1-\frac{1}{a b^2}-\frac{3a-\frac{3}{b^2}}{\left (\frac 1a+\frac 1b+ab \right )^2}=0[/math]

Решение этой системы простое: [math]a=1\, ; \, b=1[/math]
Это подтверждает и график:
Изображение

Вольфрам также подтверждает сказанное при помощи линий равных уровней:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot(a%2Bb%2B1%2F(a*b)%2B3%2F(1%2Fa%2B1%2Fb%2Ba*b),a%3D0.4..3,b%3D0.4..3)

Следовательно и [math]c=1[/math]

Численным анализом или анализом вторых производных убеждаемся, что это глобальный минимум при положительных трех параметров. Подстановка параметров и график убеждают нас, что [math]z_{min}=4[/math]

Задача решена.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Tantan
 Заголовок сообщения: Re: Решение неравенства( зад. 5470 математика в школе 6/2016)
СообщениеДобавлено: 13 окт 2017, 16:48 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1577
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
574 раз в 534 сообщениях
Очков репутации: 80

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно школьными методами доказать. Положим [math]t=a+b+c[/math], которое удовлетворяет неравенству: [math]t=a+b+c \geqslant 3\sqrt[3]{abc}=3[/math]. Заметим, что [math]3(ab+bc+ac) \leqslant (a+b+c)^2=3t^2[/math]. Проверим случай (когда меньший знаменатель [math]ab+bc+ac[/math] заменили на больший [math]\frac{ (a+b+c)^2 }{ 3 }=\frac{ t^2 }{ 3 }[/math] ), что [math]t+\frac{ 9 }{t^2 } \geqslant 4[/math] с учетом [math]t \geqslant 3[/math]. А это действительно так: [math]t^3-4t^2+9 \geqslant 0[/math] для [math]t \geqslant 3[/math]. Значит, исходное неравенство после возвращения к меньшему знаменателю будет тем более выполняться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Tantan
 Заголовок сообщения: Re: Решение неравенства( зад. 5470 математика в школе 6/2016)
СообщениеДобавлено: 16 окт 2017, 13:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
5 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемый Avgust,
мне кажеться что если искать решении при помошчи диференциального исчислинии - то можно не преобразовать функции трех
переменных к функции двух переменных, а ползоваться метод неопределенных множители Лагранжа, если положить
f(a,b,c) = a + b + c + 3/(ab + bc + ca),

[math]\varphi[/math](a,b,c) = abc - 1 = 0 и

F(a,b,c) = f(a,b,c) + [math]\lambda[/math][math]\varphi[/math] (a,b,c) и дальше решать систему :
1)
F'a = 1 - 3(b + c)/(ab + bc + ca)[math]^{2}[/math] + [math]\lambda[/math]bc = 0 ,
F’b = 1 - 3(a + c)/(ab + bc + ca)[math]^{2}[/math] + [math]\lambda[/math]ac = 0 ,
F’c = 1 - 3(a + b)/(ab + bc + ca)[math]^{2}[/math] + [math]\lambda[/math]ab = 0 ,
abc = 1
а у эту систему легко видить что есть решение : a = 1, b = 1, c = 1 и [math]\lambda[/math] = 1/3
а f(1,1,1) = 4;
2) Посколко у границу при : a либо b либо c = 0 функцию f не можно додефинировать так как нарушаеться условии abc = 1, а
3) При безконечном возрастании некоторых от переменный a, b, c - f безгранично возрастает то и f(1,1,1) = 4 есть минимум функции!
Эту задачу - 5470 посколку мне известно для школьников 8-го или 9-го класса так что мне кажеться что решении со "школьных методов" более подходящее!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение неравенства( зад. 5470 математика в школе 6/2016)
СообщениеДобавлено: 16 окт 2017, 15:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10133
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3094 раз в 2697 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan, согласен. Я подумал, что в данной задаче метод множителей Лагранжа сложней, чем дифф. исчисление. По крайней мере, мой внук (он в пятом классе) уже хорошо владеет производными и по моей рекомендации эту задачу решал. Я просто проверил правильность.
В конечном итоге, очень хорошо, что в данной теме успешно были применены два разных метода. Посмотрев посты, многие форумчане обогатят свои знания.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Представим год 2016 математически

в форуме Размышления по поводу и без

Nataly-Mak

136

2334

02 янв 2016, 01:36

Решение неравенства

в форуме Алгебра

Ladis

6

307

09 май 2013, 14:46

Решение неравенства

в форуме Алгебра

GeorgeB

0

71

20 мар 2017, 21:59

Решение неравенства

в форуме Алгебра

Fsq

4

185

13 апр 2013, 22:06

Решение неравенства

в форуме Алгебра

photographer

1

73

20 июн 2016, 11:41

Решение неравенства

в форуме Алгебра

Fsq

2

270

30 окт 2012, 16:42

Решение неравенства

в форуме Алгебра

photographer

1

70

25 июл 2016, 16:20

Решение неравенства

в форуме Алгебра

Lovemath

8

249

08 мар 2015, 20:10

Графики в начальной школе

в форуме Размышления по поводу и без

mitek

2

56

26 сен 2017, 08:49

Преподавание математики в школе

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

21

846

25 июл 2015, 22:27


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot] и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved