Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача на доказательство
СообщениеДобавлено: 28 сен 2017, 19:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 сен 2017, 19:02
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Прорешиваю задачи по матиндукции с сайта http://www.problems.ru . Задача такая:
Цитата:
Известно, что [math]x+\frac{ 1 }{ x }[/math] – целое число. Докажите, что [math]x^{n}+\frac{ 1 }{ x^{n} }[/math] – также целое при любом целом n.


Логика подсказывает, что [math]x+\frac{ 1 }{ x }[/math] может быть целым числом только при [math]x= \pm 1[/math] . И если мы имеем только два возможных значения [math]x[/math], то здесь нет смысла применять математическую индукцию для доказывания, так как общеизвестен результат возведения 1 в любую степень.

Почитал решение, почитал другое решение, но в другом месте, и никак не пойму, где я ошибаюсь и зачем здесь нужна матиндукция. Просветите, пожалуйста, где я ошибся.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство простой задачки
СообщениеДобавлено: 28 сен 2017, 20:03 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
glassen писал(а):
Логика подсказывает, что [math]x+\frac{ 1 }{ x }[/math] может быть целым числом только при [math]x= \pm 1[/math]

Контрпример: [math]x = 3 \pm 2\sqrt 2 ;\;x +{x^{- 1}}= 6[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
glassen
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство простой задачки
СообщениеДобавлено: 28 сен 2017, 20:03 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 342
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
glassen писал(а):
Логика подсказывает, что [math]x+\frac{ 1 }{ x }[/math] может быть целым числом только при [math]x= \pm 1[/math] .

Это неправильная логика. Проверьте, например, [math]x=2+\sqrt{3}[/math].
Да любое решение квадратного уравнения [math]x^2-nx+1=0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
glassen
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство простой задачки
СообщениеДобавлено: 28 сен 2017, 21:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 сен 2017, 19:02
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо. Не учел, что вместо x могло быть любое число, а не только целое.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство простой задачки
СообщениеДобавлено: 29 сен 2017, 06:54 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
glassen писал(а):
Не учел, что вместо x могло быть любое число, а не только целое.

Кроме [math]x=0,[/math] потому что в этом случае выражение [math]\frac{1}{x}[/math] не определено.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
glassen
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача на доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

R136a1

6

256

15 май 2022, 16:25

Задача на доказательство

в форуме Геометрия

Maliep

4

759

28 янв 2018, 07:15

Задача на доказательство

в форуме Геометрия

Ilitan

5

485

14 дек 2015, 15:18

Задача на доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

420

1

323

17 июн 2015, 15:35

Задача на доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

R136a1

6

304

30 ноя 2021, 02:44

Задача на доказательство

в форуме Дифференциальное исчисление

R136a1

0

178

29 апр 2022, 21:46

Задача на доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

R136a1

9

350

24 дек 2021, 02:17

Задача на доказательство

в форуме Теория вероятностей

ks17exs

15

651

30 мар 2023, 11:45

Задача на доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

R136a1

24

573

05 дек 2021, 18:33

(матрицы) задача на доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

[Alexa]

8

231

24 дек 2021, 21:18


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 31


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved