Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача на доказательство
СообщениеДобавлено: 28 сен 2017, 20:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 сен 2017, 20:02
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Прорешиваю задачи по матиндукции с сайта http://www.problems.ru . Задача такая:
Цитата:
Известно, что [math]x+\frac{ 1 }{ x }[/math] – целое число. Докажите, что [math]x^{n}+\frac{ 1 }{ x^{n} }[/math] – также целое при любом целом n.


Логика подсказывает, что [math]x+\frac{ 1 }{ x }[/math] может быть целым числом только при [math]x= \pm 1[/math] . И если мы имеем только два возможных значения [math]x[/math], то здесь нет смысла применять математическую индукцию для доказывания, так как общеизвестен результат возведения 1 в любую степень.

Почитал решение, почитал другое решение, но в другом месте, и никак не пойму, где я ошибаюсь и зачем здесь нужна матиндукция. Просветите, пожалуйста, где я ошибся.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство простой задачки
СообщениеДобавлено: 28 сен 2017, 21:03 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 471
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
256 раз в 208 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
glassen писал(а):
Логика подсказывает, что [math]x+\frac{ 1 }{ x }[/math] может быть целым числом только при [math]x= \pm 1[/math]

Контрпример: [math]x = 3 \pm 2\sqrt 2 ;\;x +{x^{- 1}}= 6[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
glassen
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство простой задачки
СообщениеДобавлено: 28 сен 2017, 21:03 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 784
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
136 раз в 126 сообщениях
Очков репутации: 25

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
glassen писал(а):
Логика подсказывает, что [math]x+\frac{ 1 }{ x }[/math] может быть целым числом только при [math]x= \pm 1[/math] .

Это неправильная логика. Проверьте, например, [math]x=2+\sqrt{3}[/math].
Да любое решение квадратного уравнения [math]x^2-nx+1=0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
glassen
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство простой задачки
СообщениеДобавлено: 28 сен 2017, 22:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 сен 2017, 20:02
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо. Не учел, что вместо x могло быть любое число, а не только целое.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство простой задачки
СообщениеДобавлено: 29 сен 2017, 07:54 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 15195
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 951
Спасибо получено:
3344 раз в 3092 сообщениях
Очков репутации: 646

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
glassen писал(а):
Не учел, что вместо x могло быть любое число, а не только целое.

Кроме [math]x=0,[/math] потому что в этом случае выражение [math]\frac{1}{x}[/math] не определено.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
glassen
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача на доказательство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ellipsoid

4

251

25 июл 2012, 00:45

Задача на доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

420

1

138

17 июн 2015, 16:35

Задача на доказательство

в форуме Геометрия

Ilitan

5

163

14 дек 2015, 16:18

Задача на доказательство

в форуме Геометрия

lika01

8

665

04 апр 2013, 14:01

Задача на доказательство-2

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ellipsoid

10

346

26 июл 2012, 19:26

Задача на доказательство

в форуме Геометрия

lika01

3

258

12 мар 2013, 18:22

Задача на доказательство 9 класс

в форуме Геометрия

A_5

14

233

25 май 2017, 09:53

Задача на доказательство с НОД двух чисел

в форуме Теория чисел

EGYCH

3

513

09 фев 2013, 16:37

Задача на доказательство. Теория графов

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Bohdan

1

64

09 дек 2016, 16:23

Задача на доказательство с использованием векторов

в форуме Геометрия

Ulenka31

11

257

24 янв 2017, 12:42


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 23


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved